Wie kann man diese Aufgabe denn lösen?

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5 Antworten

aus meiner sicht hast du das schon richtig gemacht.

Dz kannst schreiben f(x) = x + e^sin(x) = 0

Diese Ding würde ich numerisch lösen (Nullstellensuche) - eine analytische Lösung kann ich nicht bieten.

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Untersuche f(x) = ln x - sin x auf Nullstellen. Für x≤1 ist f(x)<0, für x≥e ist f(x)>0. Bleibt also nur noch das Intervall (1, e). Hier besitzt f mindestens eine Nullstelle x₀.

Zeige nun, dass f auf (1, e) streng monoton steigt; dann ist f(x₀-𝛿)<0 und f(x₀+𝛿)>0.

Zu zeigen: 0 < f'(x) = 1/x - cos x  für x∈(1, e).

Für x≥π/2 ist das trivial. Für x<π/2 geht die Abschätzung leichter, wenn Du zuerst folgende Ungleichungen für x∈(1, π/2) beweist:

  • 1/x ≥ 2 - x
  • π/2 - x ≥ cos x

Beide Ungleichungen beweist man nach dem gleichen Schema:

  g(t₀)≥h(t₀) ∧ ∀t>t₀: g'(t)>h'(t) ⇒ ∀t>t₀: g(t)≥h(t)

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Ich weiß nicht, ob das ein wirklich gültiger "Beweis" ist, aber eine mögliche Lösung wäre:

  • "ln(x)" gilt nur für x∈ℝ⁺
  • "sin(x) gilt nur für x∈ [-1, 1]
  • daraus folgt: die Definitionsmenge ist {x∈ℝ| 0>x≤1}
  • im Intervall [0,-1] gibt es sowohl für "ln(x)" als auch "sin(x)" jeweils nur eine Lösung ⇒ es kann auch gesamt nur maximal 1 Lösung geben.

Die Lösung der Gleichung nach x könnte so aussehen:

lnx = sinx → e^(sinx)=x → e^(sinx)-x= 0 → mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens läßt sich x errechnen.

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Kommentar von Zwieferl
03.03.2017, 15:24

UPS - Denkfehler!

Das Intervall [-1, 1] gilt natürlich nicht für den x-Wert, sondern für sin(x).

D.h.: ln(x) muß ebenfalls in diesem Intervall liegen ⇒ x ∈ [e⁻¹, e]

Da aber ln(x) eine bijektive Funktion ist, kann es nur eine Lösung geben.

Wie gesagt, ich bin nicht sicher, ob das als "Beweis" gilt - aber logisch erscheint es mir.

0

Nach x auflösen geht bei dieser Gleichung nicht, du musst es anders angehen:

1. sin(x) ist begrenzt auf das Interval [-1, 1]. sin(x) ist außerdem positiv für [0, pi/2)

2. ln(x) ist negativ für (0, 1) und positiv in (1, infty)

=> Es kann keinen Schnittpunkt für x < 1 geben und auch nicht für x >= pi/2.

Jetzt noch das übrig gebliebene Interval [1, pi/2) genauer anschauen. Es gilt sin(1) > 0 und ln(1) = 0 sowie sin(pi/2) = 0 und ln(pi/2) > 0. Außerdem sind ln und sin stetig in dem Interval. Es muss also mindestens einen Schnittpunkt geben.

Weil wir zudem d/dx(sin(x)) < 0 und d/dx(ln(x) > 0 in dem Interval haben, kann es aber auch nicht mehr als einen Schnittpunkt geben. Folglich muss es genua einen Schnittpunkt geben

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Kommentar von ralphdieter
03.03.2017, 16:15

Im Prinzip richtig; aber leider mit Fehlern:

=> Es kann keinen Schnittpunkt [...] geben [...] für x >= pi/2.

Warum nicht? Ich finde einen bei x≅2.22

sowie sin(pi/2) = 0

Eher =1 — aber vielleicht ist das in jedem Bundesland anders :-)

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Da stimmt irgendwas nicht. Ich könnte mir vorstellen, dass auf der linken Seite stattdessen f(x) stehen müsste. x kann ja nicht mit der Funktion von x gleichgesetzt werden...

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Kommentar von Comment0815
03.03.2017, 15:06

Und was ist beim Schnittpunkt von x² und 3x? Da setzt du auch x²=3x. Die Aufgabenstellung kann so schon stimmen...

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