Wie kann man die Summe einer solchen Aufgabe berechnen?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe - (Mathe, Mathematik, Gymnasium)

5 Antworten

Hallo,

hättest Du meine Antwort von vorhin verstanden, wüßtest Du, daß es einen schnelleren Weg gibt.

Also nochmal:

sn=(2/3)^3+(2/3)^4+...+(2/3)^n

(2/3)*sn=(2/3)^4+...+(2/3)^n+(2/3)^(n+1)

sn-(2/3)*sn=(1/3)*sn=(2/3)^3-(2/3)^(n+1)

sn=3*[(2/3)^3-(2/3)^(n+1)]

Alle Zwischenglieder heben sich beim Subtrahieren auf, weil sie in beiden Reihen identisch sind.

Möchtest Du jetzt die Summe für n=3 bis n=25 für (2/3)^n berechnen,

setzt Du einfach in die obige Gleichung für n die 25 ein und erhältst:

3*[(2/3)^3-(2/3)^26]=0,8888096846, was exakt der Summe der Einzelglieder entspricht.

Herzliche Grüße,

Willy

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Willy1729 17.10.2016, 18:49

Auch für diesen Stern herzlichen Dank.

Willy

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Ich wüsste da jetzt spontan auch keine schnelle Lösung.

Die richtige Endsumme ist 753078321752/847288609443, also ein ziemlich ekliger Dezimalbruch. ^^

LG Willibergi

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Also mir fällt auf die schnelle keine einfachere Schreibweise ein.
Dein besagtes Ergebnis scheint aber nicht richtig zu sein:
https://rechneronline.de/summe/
Gib da pow((2/3)#i) ein und du siehst unten jeweils die Zwischensumme.

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Herleitung des Ergebnisses:

Ich schreibe mal q=2/3.
Dann ist die gesuchte Summe:
(I) s=q³+q^4+q^5+...+q^25

Multiplizierst Du das Ganze mit q, erhälst Du:
(II) qs=q^4+q^5+q^6+...+q^26

Ziehst Du die Gleichungen voneinander ab (I)-(II):
s-qs=q³-q^26          |s ausklammern (alle anderen Summanden heben sich auf)
s(1-q)=q³-q^26        |: (1-q)
s=(q³-q^26)/(1-q)

Werte einsetzen:
s=(2/3)³-(2/3)^26)/(1-2/3)=(2/3)³-(2/3)^26/(1/3)=3*((2/3)³-(2-3)^26)
  =0,88880968...

ist nicht komplett auf "meinem Mist gewachsen":
sh. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische\_Reihe#Herleitung\_der\_Formel\_f.C3.BCr\_die\_Partialsummen unter Punkt 4.1 "Herleitung Partialsummen"

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fjf100 10.10.2016, 18:42

Is immer so ! "Kopieren geht über studieren" !!

Alle meine Beiträge sind abgeschrieben !

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Ich möchte ungerne von 3 aus 2/3^3 und plus 2/3^4 schreiben und das 25 mal.

Das wäre auch falsch.

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User48572 10.10.2016, 14:47

 (2/3)^3 natürlich mit klammern. kanst du helfen?

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Tannibi 10.10.2016, 14:49
@User48572

(2/3)^3 natürlich mit klammern.

Es sind nicht 25, sondern nur 23 Summanden.

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