Wie kann man die Reihe berechnen?

 - (Mathe, Mathematik)

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

schon mal etwas von einer Teleskopsumme gehört?

SUMME (k=1 bis n) über (√[(k+1)/k-(k+2)/(k+1)]=
√[(k+1)/k]-√[(k+2)/(k+1)]+√[(k+2)/(k+1)]-√[(k+3)/(k+2)]+√[(k+3)/(k-2)]-√[(k+4)/(k-3)]+...
..+√[(n-1)/n]-√[n/(n-1)]+√[(n/(n-1)]-√[(n+1)/n]+√[(n+1)/n]-√[(n+2)/(n+1)]

Bis auf das erste und das letzte Glied in der Reihe heben sich alle anderen Glieder gegenseitig auf, weil -a+a jeweils 0 ergeben.

Die Summe schnurrt also wie ein Teleskop zusammen.

Um die Summe der Reihe von k=1 bis n zu berechnen, reicht es also,

√[(1+1)/1]-√[(n+2)/(n+1)]=√2-√[(n+2)/(n+1)] zu berechnen.

Da (n+2)/(n+1) für n gegen unendlich gegen 1 geht und Wurzel (1) auch 1 ist, geht die ganze Reihe für n gegen unendlich gegen √2-1=0,4142135624.

Herzliche Grüße,

Willy

52

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Durch Umformungen der Gleichung ak aus der Aufgabe b (die man zeigen sollte)

kommt man auf den Ausdruck für ak:

ak = sqrt(1+1/k)-sqrt(1+1/(k+1))

Wenn man das in die Summenformall einsetzt, kann man diese Summe aufdrösseln.

in

Summe 1:

sum((1+1/k)) für k=1 ->n und sum(sqrt(1+1/(k+1)) für k=1 ->n

Nun sieht man,d ass die zweite Summe immer das k+1 nutzt:

für k= 1 -> 1/2

für k = 2 -> 1/3 etc.

Das heißt man kann die zweite Summe auch in der Form schreiben:

sum(sqrt(1+1/(k)) für k=2 ->n

->

sum((1+1/k)) für k=1 ->n und sum(sqrt(1+1/(k)) für k=2 ->n

->

nur der Term der ersten Summe für k=1 bleibt übrig.

->

sqrt(1+1) = sqrt(2)

PS:

Ich habe bei der zweiten Summe das sqrt(1+1/n+1) vergessen sorry.

Das Ergebnis müsste dann sqrt(2)-sqrt(1+1(n+1)) lauten.

52

Der Term -√[(n+2)/(n+1)] bleibt auch noch übrig, denn der wird ja nicht mehr durch den nächsten Term aufgehoben, weil die Summe bis n, nicht bis n+1 geht.

1

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