Wie kann man die Höhe eines unregelmäßigen Tetraeders berechnen?

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3 Antworten

Ich habe eine Formel gefunden, sie ist allerdings so länglich (kann aber vielleicht noch reduziert werden), dass ich sie hier nicht aufschreiben möchte - es würde zu unübersichtlich werden. Ich werde statt dessen einfach aufzeigen, wie ich sie entwickelt habe.

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Ich lege den unregelmäßigen Tetraeder so in ein dreidimensionales Koordinatensystem, dass seine längste Seite auf der x-Achse zu liegen kommt, dass sich der linke Endpunkt dieser Seite im Ursprung befindet und dass sich drei der vier Ecken im ersten Quadranten der x-y-Ebene (einschließlich der x- und y-Achse befinden. Der vierte Eckpunkt ist dann der einzige, der eine z-Koordinate ungleich Null hat.

Den Eckpunkt im Ursprung bezeichne ich mit A, den Punkt am anderen Ende der Seite auf der x-Achse mit B, den dritten Punkt in der x-y-Ebene mit C und den vierten Eckpunkt Punkt mit D.

Die Punkte haben dann folgende Koordinaten ( x | y | z ):

A ( 0 | 0 | 0 )

B ( AB | 0 | 0 )

C ( xc | yc | 0 )

D ( xd | yd | zd )

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Großbuchstabenkombinationen wie etwa AB sollen hier und im Folgenden die Längen der Strecken zwischen den durch die Großbuchstaben gekennzeichneten Eckpunkten bezeichnen, AB also bezeichnet die Länge der Strecke zwischen dem Eckpunkt A und dem Eckpunkt B. Diese Längen sind gemäß Aufgabenstellung alle gegeben, also bekannt.

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Zunächst fällt auf, dass die Koordinaten des Punktes C nicht bekannt sind. Diese müssen also zunächst berechnet werden.

Dazu stelle ich die Gleichungen zweier Kreise auf, einen um den Punkt A mit Radius AC und einen um den Punkt B mit Radius BC. Aus dem so entstehenden Gleichungssystem kann ich dann die Koordinaten xc und yc des Punktes C berechnen. Da der Punkt C im ersten Quadranten liegen soll, verwende ich denjenigen der beiden Schnittpunkte der Kreise, dessen y-Koordinate positiv ist.

Die Koordinaten hängen jeweils von den bekannten Längen der Strecken AB, AC und BC ab.

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Als nächstes fällt auf, dass alle drei Koordinaten des Punktes D unbekannt sind. Zur Berechnung dieser Koordinaten stelle ich daher die Gleichungen dreier Kugeln auf, eine Kugel um den Punkt A mit Radius AD, eine um den Punkt B mit Radius BD und eine um den Punkt C mit Radius CD. Diese letzte Kugelgleichung kann ich aufstellen, da mir die Koordinaten des Punktes C durch die vorangehende Berechnung bekannt sind.

Das so entstandende Gleichungssystem aus drei Kugelgleichungen mit den drei unbekannten Koordinaten xd, yd und zd kann ich dann lösen. Das ist sogar beinahe überraschend einfach - die entstehenden Formeln sind allerdings leider recht länglich ...

Schließlich erhalte ich so die Koordinaten des Punktes D, die von den bekannten Längen aller sechs Kanten des Teraeders abhängen.

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Mit Kenntnis dieser Koordinaten ist der Rest ist dann recht einfach.

Ich berechne die Koordinaten des Fußpunktes F ( xf | yf ) der Höhe hd des Punktes D über der x-y-Ebene. Da der Punkt F die Projektion des Punktes D in die x-y-Ebene ist, stimmen die x und die y-Koordinatne von F mit den x- bzw. y-Koordinaten von D überein und da F in der x-y-Ebene liegt, ist seine z-Koordinate gleich Null, deshalb lasse ich sie einfach weg.

Der Punkt F hat also die Koordinaten F ( xf = xd | yf = yd )

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Nun bilden die Höhe hd, die Strecke AF und die Strecke AD ein rechtwinkliges Dreieck, denn die Höhe steht senkrecht auf der x-y-Ebene. Die Strecke AD ist darin die Hypotenuse, die beiden anderen Strecken sind die Katheten.

Es gilt also nach Pythagoras:

AD ² = AF ² + hd ²

bzw. nach hd umgeformt:

hd = Wurzel ( AD ² - AF ² )

AD war gegeben, AF ² kann ich mit dem Satz des Pythagoras aus den Koordinaten des Punktes F leicht berechnen:

AF ² = xd ² + yd ²

And that's it. :-)

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Das ist jetzt allerdings nur die Höhe eines der Punkte des Tetraeders über der durch die anderen Punkte gegebenen Grundfläche. Für die anderen Höhen muss man die Kanten entsprechend vertauschen.

Viel Spaß beim Rechnen - und vielleicht findet ja jemand eine einfachere Lösung ...

JotEs 19.06.2011, 18:48

Danke für den Stern. Hast du die Lösung gefunden?

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Das hängt davon ab was man gegeben hat.

Auch ein TetraederVolumen errechnet sich aus V = 1/3 * G * h. Je nachdem was ich gegeben habe kann ich das nach h auflösen.

bauabuff 17.06.2011, 17:54

Man hat nur Seitenlängen der Kanten, also weder V noch h.Und h ist gesucht.

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Stelle doch den genauen Wortlaut der Aufgabe herein, vielleicht haben wir ja ein besonderes Tetraeder?

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