Wie kann man begründen, ob zwei Ereignisse (un-)abhängig sind?

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Definition. In einem Wahrscheinlichkeitsraum heißen Ereignisse A, B dann voneinander unabhängig, wenn

  • P[C und D]=P[C]·P[D] für alle C ∈ {A; ¬A} und D ∈ {B; ¬B}

gilt, ansonsten heißen A, B abhängig.


Behauptung. Die in der Aufgabe genannten Ergebnisse A und B sind abhängig.


Beweis. Anhand der Definition, reicht es aus zu zeigen, P[B|¬A] ≠ P[B|A]. Dann versagt mindestens eine der zur Unabhängigkeit notwendigen Bedingungen P[B und A]=P[B]·P[A] oder P[B und ¬A] = P[B]·P[¬A], denn Teilen durch P[A] bzw. P[¬A] liefert, dass im Falle Unabhängigkeit die beiden bedingte W-keiten gleich P[B] sein müssen.

Gegeben A: Urne vor dem zweiten Zug (5W; 2S). Also, P[B|A]=2/7. 
Gegeben ¬A: Urne vor dem zweiten Zug (6W; 1S). Also, P[B|¬A]=1/7.

Daher P[B|¬A] ≠ P[B|A]. Daraus folgt, dass A und B nicht unabhängig sein können. Daher sind A, B abhängige Ereignisse.   Q.e.d.

Die oben genannte Definition ist zwar richtig, eine Äquivalente ist:

Definition 1*. In einem Wahrscheinlichkeitsraum sind Ereignisse A, B dann voneinander unabhängig, wenn P[A und B]=P[A]·P[B]. Ansonsten sind die abhängig.


Im Allgemeinen sind folgende Äquivalent:

Definition 2. In einem Wahrscheinlichkeitsraum sind Ereignisse A, B, C,… dann voneinander unabhängig, wenn P[E¹ und E² und … und Eᵏ]=P[E¹]·P[E²]·…·P[Eᵏ] für alle k und E¹,E²,…,Eᵏ ∈ {A; B; C;…; ~A; ~B; ~C;…}. Ansonsten sind die abhängig.

Definition 2*. In einem Wahrscheinlichkeitsraum sind Ereignisse A, B, C,… dann voneinander unabhängig, wenn P[E¹ und E² und … und Eᵏ]=P[E¹]·P[E²]·…·P[Eᵏ] für alle k und E¹,E²,…,Eᵏ ∈ {A; B; C;…}. Ansonsten sind die abhängig.

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die ereignisse sind abhängig voneinander da du die kugeln ja nicht wieder zürcklegst. beim ersten zug eine weisse zu ziehen beträgt 2/8 da nur zwei von insgesamt 8 kugeln weiss sind da du diese gezogene weisse nicht zurück legst beträgt die wahrscheinlichkeot jetzt eine schwarze zu ziehwn 6/7 statt 6/8 wenn die weisse nocj drin wäre. deswegen ist es abhängig voneinanswe

Ereignis A ist unabhängig von B, da egal wie B ist, die Wahrscheinlichkeit für A ist gleich (6/8). Hingegen ist Ereignis B abhängig von Ereignis A. Wenn die erste Kugel weiß ist, ist die Wahrscheinlichkeit für B gleich (2/7). War die erste Kugel aber schwarz, ist die Wahrscheinlichkeit gleich (1/7). Abhängig bedeutet also, dass das Ereignis unterschiedlich ist, wenn ein anderes Ereignis anders ist.

Überprüfen der Ereignisse A und B auf stochastischer Unabhängigkeit?

Nr.1 Prüfen Sie die Ereignisse A und B auf stochastische Unabhängigkeit.

a) Ein Würfel wird zweimal geworfen. A sei das Ereignis, dass im zweiten Wurf eine 1 fällt. B sei das Ereignis, dass die Augensumme 5 beträgt.

b) Ein Würfel wird zweimal geworfen. A:,,Augensumme 6, B:,,Gleiche Augenzahl in beiden Würfen"

c) Aus einer Urne mit 4 weißen und 6 schwarzen Kugeln werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. A:,,Im zweiten Zug wird eine weiße Kugel gezogen", B:,,Im ersten Zug wird eine weiße Kugel gezogen".

d) Das Experiment aus Aufgabenteil c wird wiederholt, wobei jedoch ohne zurücklegen gezogen wird.

Bitte kann mir jemand helfen, ich verstehe es überhaupt nicht.

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Ich verstehe nicht warum die Ereignisse überhaupt abhängig voneinander sein sollen, ein Spielzeug kann doch mit F1 oder F2 oder auch beidem versehen sein. Es hat in meinen Augen nichts miteinander zu tun...

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