Wie kann ich hier nach x auflösen?

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5 Antworten

150 = 1.16 * x ^ 3 - 26.1 * x ^ 2 + 148.3 * x

1.16 * x ^ 3 - 26.1 * x ^ 2 + 148.3 * x - 150 = 0

1.16 * x ^ 3 - 26.1 * x ^ 2 - 150 = -148.3 * x | : (-148.3)

x = -(1.16 / 148.3) * x ^ 3 + (26.1 / 148.3) * x ^ 2 + (150 / 148.3)

Das ist eine sogenannte Fixpunktform.

Nun kann man eine Fixpunktiteration durchführen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Dafür braucht man einen Näherungswert / Startwert für x.

Man setzt den Näherungswert für x in die rechte Seite der Fixpunktgleichung ein, und erhält auf der linke Seite einen verbesserten Näherungswert für x, den man wiederum in die rechte Seite einsetzt und immer so weiter, bis man mit dem Ergebnis zufrieden ist.

Den Startwert für x verschafft man sich am besten mittels eine Wertetabelle der ursprünglichen Gleichung, oder man probiert verschiedene Startwerte für x schlicht und einfach systematisch durch.

Für die Ausführung der Fixpunktiteration sollte man einen programmierbaren Taschenrechner haben.

Mit dem Startwert x = 1 erhält man nach 38 Iterationen den Wert x = 1.28580806843611813

Mit dem Startwert x = 8 erhält man nach 37 Iterationen den Wert x = 14.06296477231215

Und daran erkennt man schon ein paar Nachteile der Fixpunktiteration -->

- Gegen 2 der 3 Nullstellen konvergiert in deinem Beispiel die Fixpunktgleichung, aber gegen die 3-te nicht, weshalb man es mit einer anderen Fixpunktgleichung erneut probieren muss.

- Es muss nicht immer eine Konvergenz gegen Nullstellen geben

- Unter Umständen hat man eine langsame Konvergenz

- Oftmals muss man mehrere verschiedene Fixpunktgleichungen zu ein und derselben Ausgangsgleichung aufstellen und ausprobieren.

Es gibt auch Vorteile --->

- Die Fixpunktgleichungen sind oft mühelos aufzustellen

- Man braucht keine Ableitung bestimmen wie beim Newton-Verfahren, so dass man sie auch dann anwenden kann, wenn die Berechnung der 1-ten Ableitung mit großen Mühen verbunden wäre.

Man kann aus ein und derselben Gleichung oftmals mehrere Fixpunktgleichungen aufstellen und ausprobieren -->

1.16 * x ^ 3 - 26.1 * x ^ 2 + 148.3 * x - 150 = 0

x = ((-1.16 * x ^ 3 - 148.3 * x + 150) / (-26.1)) ^ (1 / 2)

Mit dieser Fixpunktgleichung und dem Startwert x = 7 erhält man nach 228 Iterationen den Wert x = 7.151228384076033

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Mit dem Newton-Verfahren ist man in vielen Fällen besser dran.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

https://www.youtube.com/results?search\_query=newton+verfahren

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Zusammenfassung -->

x _ 1 = 1.28580806843611813

x _ 2 = 7.151228384076033

x _ 3 = 14.06296477231215

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Kommentar von so000
28.02.2016, 00:53

Vielen Dank, deine/Ihre Antworten sind immer hilfreich ☺️ und verständlich 👍🏻

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Die Methoden, die Ellejolka vorschlägt führen zwar weiter. Das Horner Schema erleichtert die Berechung. Aber die Polynomdivision hilft nur weiter, wenn man eine Nullstelle der Normalform bereits kennt.

Wenn man nicht gerade eine kubische Gleichung lösen will, dann bleibt einem nichts weiter übrig, als dass man die erste Nullstelle mit einer numerischen Methode findet. Unglücklicherweise hat das Polynom auch noch so krumme Koeffizienten. Ganzzählige Lösungen sind in diesem Fall ausgeschlossen. Habe das bereits mit Excel angetestet. Die Nullstellen liegen zwischen 1,2 und 1,3  ; zwischen 7 und 8  ;  und zwischen 14 und 15.

Es ist alles lösbar. Aber die Aufgaben hat keinen Spassfaktor

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Kommentar von so000
27.02.2016, 22:08

Ok vielen Dank :) Also ich weiß, dass die Lösungen x1=1,29 , x2=7,15 und x3= 14,06 sind, aber ich möchte den Weg dazu haben, wie man das ausrechnen kann, also wie könnte ich da am besten rechnen ? :)

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zunächst die Umstellung zur Normalform:

150=1.16x^3-26.1x^2+148.3x
0=116/100*pow(x,3)-261/10*x*x+1483/10*x-150
0=58*x³-1305*x²+7415*x-7500

für die gibt es neben den Näherungslösungen (Bisektion, selbstkonvergierende Iteration, Newton-Iteration Bild1 )

auch 2 exakte Formelumstellungen analog zur pq-Formel (einige abc-Formel).

Die sind beide kein Schulstoff und Du hast nicht die Klassenstufe angegeben, Deine Frage lautet aber "nach x auflösen", also:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet online alles vor und hat auch einen LINK zur Lösungsformel

x1=15/2-((1-i sqrt(3)) (5 (86130+i sqrt(364363224915)))^(1/3))/(4 87^(2/3))-(949 5^(2/3) (1+i sqrt(3)))/(4 (87 (86130+i sqrt(364363224915)))^(1/3))


x1=(15-sqrt(4745/29)*sin(1/3*atan(sqrt(837616609/435)/198))-sqrt(4745/87)*cos(1/3*atan(sqrt(837616609/435)/198)))/2


x1=1.28580684361181343368973264435121352...

analog x2 & x3

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Substitution geht hier nicht;

entweder Polynomdivision oder Horner Schema

oder Annäherung

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Kommentar von so000
27.02.2016, 21:34

Ok und wie gehen diese Methoden? :)

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Kommentar von so000
27.02.2016, 21:59

Ok danke

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habe ich ein Déjà-vu, oder wurde die Frage schon einmal gestellt und gelöscht, habe doch auch schon einen Kommentar kommentiert?!?

Egal... Sustitution funktioniert nicht, da Du bei x²=z für x³=x*z erhalten würdest. Daher gehts nur durch Näherungsverfahren:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/nullstellenapproximation/newtonverfahren.html

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