Wie kann ich folgendes Integral bestimmen?

 - (Mathe, Mathematik, Universität)

6 Antworten

Hab die Aufgabe mal Schritt für Schritt durchgerechnet und in meine Aufgabensammlung aufgenommen.

Eine Proberechnung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) habe ich auch durchgeführt

Lösung von F(t)= Integral(2*sin(2*t-1)*cos(2*t)*dx ist

F(t)=sin(-1)*t-1/4*cos(4*t-1)+C

f(x)=2*sin(2*t-1)*cos(2*t) Nullstellen bei t1=0,5 t2=0,785.. t3=2,07079...

Fläche zwischen den Grenzen tu=1 und to=2 A=-1,27744.. FE

Minuszeichen,weil die Fläche unter der x-Achse liegt.

Hallo,

substituiere 2t durch z mit Integrationsausgleich 1/2, der den Faktor 2 aufhebt.

Anschließend zweimal partiell integrieren, bis unter dem zweiten Restintegral wieder der ursprüngliche Ausdruck steht.

Danach das Restintegral nach links zum ursprünglichen Integral addieren, den Rest nach rechts und am Ende beide Seiten durch 2 teilen.

Herzliche Grüße,

Willy

Okay, welche Substitutionsmethode kann ich anwenden, nachdem ich die 2 aus dem Integral herausgezogen habe? Was meinst du mit "Integrationsausgleich 1/2"? Steige da leider noch nicht so ganz hinter.

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@Hyperblue

Vergiß es. So funktioniert es nicht. (Falsche Vorzeichen).

Siehe Antwort von Halbrecht. 

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Formel aus dem Mathe-Formelbuch anwenden

sin(a)*cos(b)=1/2*(sin(a-b)+sin(a+b)

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@fjf100

Ich hatte gehofft, daß sich bei der partiellen Integration wieder das Anfangsintegral als Restintegral ergibt - nur mit einem Minus davor. Klappte aber nicht. Dann Additionstheorem - aber eine entsprechende Antwort war ja schon da.

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@Willy1729

Bei diesen Aufgaben muß man zuerst die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen prüfen, ob man den Ausdruck dadurch vereinfachen kann.

Wenn das nicht geht,dann prüfen,ob eine Substitution möglich ist.

Wenn das auch nicht funktioniert,dann bleibt nur noch die Partielle Integration.

Lösung bei dieser Aufgabe ist

F(t)=sin(-1)*t-1/4*cos(4*t-1)+C

f(t)=2*sin(2*t-1)*cos(2*t) Nullstellen bei t1=0,5 t2=0,785... t3=2,07079...

Fläche zwischen tu=1 und to=2 A=-1,2774..FE Fläche liegt unter der x-Achse

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Bei solchen Aufagben immer die Beziehungen der trigonometrischen Funktionen prüfen, siehe Mathe-Formelbuch.

Wenn das nicht funktioniert, eine Substitution probieren. z=.... abgeleitet z´=dz/dx=...

dx=dz/....

hier kann man "Produkte von trigonometrischen Termen" anwenden

sin(a)*cos(b)=1/2*(sin(a-b)+sin(a+b))

hier a=2*t-1 und b=2*t ergibt

sin(a-b)=sin(2*t-1-2*t)=sin(-1)=konstant

sin(a+b)=sin(2*t-1+2*t)=sin(4*t-1)

also sin(2*t-1)*cos(2*t)=1/2*(sin(-1)+sin(4*t-1))

Konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden

F(t)=sin(-1)*Integral( sin(4*t-1)*dt

Dieses Integral kann durch die Substitution gelöst werden

z=4*t-1 abgeleitet z´=dz/dt=4 ergibt dt=dz/4 eingesetzt

F(t)=sin(-1) Int.(sin(z)*dz*1/4=1/4*sin(-1)*Int.sin(z)*dz

F(t)=1/4*sin(-1)*(-1*cos(z))

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Prüfe auf Rechen-u. Tippfehler.

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