Wie kann ich eine Quadratische Gleichung ergänzen?

4 Antworten

x^2+8x+c=(x+d)^2

um das ganze mal mit variablen auszudrücken. Dank den Binomischen Formeln wissen wir dass

(x+d)^2 = ^+2xd+d^2

sein muss (Um die selben Variablen zu verwenden). Also muss 8x den 2xd entsprechen, und damit muss

8 = 2d

sein (das x haben wir ja schon). Wenn

8 = 2d dann sind 4 = d.

Und wir wissen dass

c = d^2 = 4^2 = 16

Eingesetzt in die Gleichung:

x^2+8x+16=(x+4)^2

Das soll eine binomische Formel werden und die erste davon lautet:
a² + 2ab +b² = (a+b)²

Jetzt musst du das mit deiner Gleichung vergleichen:
x² + 8x + ? = (x+?)²

x=a,  dann muss gelten  2ab=8x  bzw.  2b=8  und damit  b=4.

Der letzte fehlende Term ist also  b²=4²=16.

x² + 8x + 16 = (x+4)²

Warum steht in der binomischen Formel "ab", wenn es am Ende als "b" gewertet wird?

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@Cl4dis

Das x ist doch das a, also rechnet man

2ab = 8x
2ab = 8a   oder   2xb = 8x
2b = 8
b = 4

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@Myrine

8x ist ausgeschrieben ja 8*x. Also ist a das 8* und b ist x oder?

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@Cl4dis

Nein, x=a. b berechnest du doch und in diesem Fall kommt 4 raus.

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@Myrine

Ok. Und warum kommt da 4 raus? Weil x ist doch eine unbestimmte Zahl.

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@Cl4dis

Okay, noch mal gaaaanz langsam:

2ab = 8x

Da x=a, kannst du das a in der Formel durch x ersetzen.

2xb = 8x

Jetzt teilst du einfach beide Seiten der Gleichung durch x. x ist zwar unbekannt, aber eben doch der Platzhalter für eine Zahl durch die man teilen kann.

2b = 8

Und dann teilst du beide Seiten der Gleichung durch 2.

b = 4

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@Myrine

Ok, ich verstehe schon mal wie es Aufgebaut ist und wie man es rechnen muss, aber nicht, warum es so funktioniert, wie es funktioniert.

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@Cl4dis

Du vergleichst die beiden Gleichungen:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
x² + 8x   + ?₁ = (x+?₂)²

Dann siehst du, dass für die einzelnen Komponenten gelten muss:
a² = x²
2ab = 8x
b² = ?₁
a = x
b = ?₂

Und über  2ab = 8x  kommst du an das b, weil das der einzige Ausdruck mit b darin ist, für den du einen Wert und kein ? hast.

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x²+8x+4²=(x+4)²

Immer die Hälfte von x, in diesem Fall 8

xoxo Miss Princess

Oh, ich hätte erwartet, dass das etwas schwieriger ist... Naja danke! Und muss ich immer die Hälfte von dem Wert nehmen, den x trägt oder die Hälfte von der Anzahl von x?

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@Cl4dis

Ganz so einfach ist es dann doch nicht ;)

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@Cl4dis

Ja. Das kannst du immer dann machen, wenn vor dem x² nicht noch etwas anderes steht (also nur eine unsichtbare 1). Diese Übungen sind wahrscheinlich Vorübungen für die quadratische Ergänzung, die du beim Lösen von quadratischen Gleichungen oder zum Berechnen des Scheitelpunkts einer Parabel brauchst. In diesen beiden Fällen formen wir das Binom immer so um, dass vor dem x²-Term nichts steht. Dann können wir nämlich "halbieren und quadrieren" machen, so wie das Miss Princess geschrieben hat.

P.S. Mathe ist immer ganz leicht, wenn man weiß wie...

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