Wie kann ich eine Kurvendiskussion mit dieser Funktion machen?

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3 Antworten

Hallo,

a und b werden wie normale Zahlen behandelt.

Für die Nullstellensuche kannst du x² ausklammern:

f(x)=x²*(ax+3b)

Dann hast Du eine doppelte Nullstelle bei x=0 (unabhängig von a oder b).

Hier wird die x-Achse also berührt, es liegt also gleichzeitig ein Maximum oder Minimum vor.

Die andere Nullstelle ist da, wo gilt: ax+3b=0

ax=-3b

x=-3b/a

Bei der Suche nach Extrema gehst Du genauso vor:

f'(x)=3ax²+6bx

Hier klammerst Du 3x aus:

f'(x)=3x*(ax+2b)

Ein Extremum liegt also bei x=0, was wir wegen der doppelten Nullstelle bereits wußten, das andere da, wo gilt: ax+2b=0

ax=-2b

x=-2b/a

Eine Punkt- oder Achsensymmetrie liegt nicht vor, weil bei f(x) sowohl ungerade wie gerade Exponenten vorkommen.

Die zweite Ableitung lautet f''(x)=6ax+6b

Bei x=0 ist sie positiv, weil b genau wie a >0

Bei x=-2b/a ist die zweite Ableitung 6a*(-2b/a)+6b=-12b+6b=-6b, also negativ, was auf ein Maximum hindeutet.

Eine Wendestelle hast Du, wo gilt: 6ax+6b=0

Hier kannst Du zunächst durch 6 kürzen:

ax+b=0

ax=-b

x=-b/a

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von User48572
26.11.2016, 18:01

Danke für deine Mühe, das rechnen ist kein Problem, aber es wäre doch viel interessanter, wenn man einige Zahlen drinn hätte in der Aufgabe, so könnte man ja ne schöne diskussion machen.

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Kommentar von Willy1729
27.11.2016, 17:59

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Das ist gerade der Sinn. ;) Zu beweisen, dass für alle a und b (unter bestim. Voraussetzungen, v.a. größer null) die Kurvendiskussion gleich aussieht.

a und b sind unbekannt und beide größer null (das ist vor allem wichtig, weil man viele Umformungsschritte in Gleichungen nur machen kann, wenn man weiß, dass die Unbekannte ungleich null).

f(x) = (a * x³) + (3 * b * x²)

f'(x) = (3 * a * x²) + (2 * 3 * b * x) = 3ax² + 6bx

Also:

Die Nullstellen von f(x) sind an den Stellen x, wo f(x) = 0 gilt.

ax³ + 3bx² = 0 ---> zuerst x² ausklammern

x² * (ax + 3b) = 0 ---> "Ein Produkt ist dann null, wenn einer der beiden Faktoren null ist"

Also muss entweder x² = 0 sein, oder (ax + 3b) = 0 sein.

Damit x² = 0 wird, kann man für x nur eine Möglichkeit einsetzen --> 0

Deshalb ist eine Nullstelle x1 = 0

Damit (ax + 3b) = 0 wird, muss ax = -3b sein. Damit das erfüllt ist, muss x = -3*(b/a) sein.

Deshalb ist die zweite Nullstelle x2 = -3*(b/a)

Um jetzt z.B. Hoch- und Tiefpunkte von f(x) zu berechnen, musst du f'(x) = 0 setzen und genau so vorgehen.

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Was würdest du denn tun, wenn da für a und b Zahlen stünden?

Genau so gehst du dann vor.


Nullstellen:

0=ax³+3bx²

0=x²*(ax+3b)

--> x1,2=0

oder

ax+3b=0 --> x=-(3b)/a


Extrema:

f'(x)=3ax²+6bx

0=3ax²+6bx

0=x*(3ax+6b)


usw.

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Kommentar von User48572
26.11.2016, 17:26

Mit zahlen ganz normal, also hier einfach so weit wes geht ohne zahlen rechnen, richtig?

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