Wie kann ich dieses Matherätsel lösen?

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2 Antworten

Alexandra berechnet

S = ∑ k über k von 1 bis n = ½n·(n+1)

und es gilt p | S und NICHT(p | k) für alle k von 1 bis n. Folglich gilt p∉{1; 2; …; n}. Darum p≥n+1. 

  • Fall 1. 2 | n. Dann aus p | S=½n·(n+1) folgt
p | ½n oder p | (n+1)

aber p>n>½n. Darum NICHT(p | ½n). Also p | n+1. Daher p≤n+1. Da aber n+1≤p, gilt also p=n+1.

  • Fall 2. NICHT(2 | n). Dann, 2 | n+1. Aus p | S = n·((n+1)/2) folgt
p | n  oder p | (n+1)/2

aber p > n. Darum NICHT(p | n). Also p | (n+1)/2. Daher p≤(n+1)/2. Da aber n+1≤p, gilt n+1≤(n+1)/2, also 2(n+1)–(n+1) ≤ 0, also n+1≤0, also n≤-1. Aber n>0. Widerspruch.

Zusammenfassung. Fall 2 ist unmöglich. Darum gilt nur Fall 1. Also n ist gerade und p=n+1. Folglich gilt n+p = (p–1)+p = 2p–1. Daher p = [(n+p)+1]/2.

Wir schauen uns die Möglichkeiten an:

     n+p    [(n+p)+1]/2    ist prim?
=====================================
(a) 217 109 ja
(b) 221 111 nein
(C) 229 115 nein
(D) 245 123 nein
(E) 269 135 nein

Darum ist die Lösung: p=109, n=108 und n+p=217 (also (a)).

Du musst wissen, dass "die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n" = (n+1) * n / 2.

Es gilt: p | (n+1) * n / 2 => p | (n+1) * n => es gibt k∈ |N mit k * p = (n+1) * n
Außerdem: p > n

Annahme: p != n+1

=> k * p enthält einen Primfaktor (eben p), der nicht in (n+1) * n enthalten ist
=> k * p != (n+1) * n => Widerspruch

=> p = n+1


=> n + p = 2n + 1.


Den Rest solltest du so schaffen.

Tip: es trifft auf genau eine Zahl in der Auswahl zu

Kommentar von ralphdieter
13.10.2016, 15:27

Außerdem: p > n

Wieso?

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Kommentar von rumar
14.10.2016, 21:42

Hallo YStoll,

nur etwas zur Schreibweise:   Zwar ist mir bekannt, dass die Zeichenkombination   "!="   auch etwa (seinerzeit in Fortran) für die Ungleichheit  benützt wird.  Gerade im Zusammenhang mit einer solchen Frage aus dem Bereich der natürlichen Zahlen kann dies aber sehr leicht verwechselt werden, indem nämlich das Ausrufzeichen als "Fakultät" missverstanden werden könnte.

Auf den meisten Tastaturen findet man aber das Ungleichheitszeichen   " ≠ "  sehr wohl und kann deshalb hier verwendet werden. Auf meiner (Mac-) Tastatur ist das Symbol etwa unter  " alt = "   abzurufen.

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