Wie kann ich dieses Matherätsel lösen?

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Alexandra berechnet

S = ∑ k über k von 1 bis n = ½n·(n+1)

und es gilt p | S und NICHT(p | k) für alle k von 1 bis n. Folglich gilt p∉{1; 2; …; n}. Darum p≥n+1. 

  • Fall 1. 2 | n. Dann aus p | S=½n·(n+1) folgt
p | ½n oder p | (n+1)

aber p>n>½n. Darum NICHT(p | ½n). Also p | n+1. Daher p≤n+1. Da aber n+1≤p, gilt also p=n+1.

  • Fall 2. NICHT(2 | n). Dann, 2 | n+1. Aus p | S = n·((n+1)/2) folgt
p | n  oder p | (n+1)/2

aber p > n. Darum NICHT(p | n). Also p | (n+1)/2. Daher p≤(n+1)/2. Da aber n+1≤p, gilt n+1≤(n+1)/2, also 2(n+1)–(n+1) ≤ 0, also n+1≤0, also n≤-1. Aber n>0. Widerspruch.

Zusammenfassung. Fall 2 ist unmöglich. Darum gilt nur Fall 1. Also n ist gerade und p=n+1. Folglich gilt n+p = (p–1)+p = 2p–1. Daher p = [(n+p)+1]/2.

Wir schauen uns die Möglichkeiten an:

     n+p    [(n+p)+1]/2    ist prim?
=====================================
(a) 217 109 ja
(b) 221 111 nein
(C) 229 115 nein
(D) 245 123 nein
(E) 269 135 nein

Darum ist die Lösung: p=109, n=108 und n+p=217 (also (a)).

Du musst wissen, dass "die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n" = (n+1) * n / 2.

Es gilt: p | (n+1) * n / 2 => p | (n+1) * n => es gibt k∈ |N mit k * p = (n+1) * n
Außerdem: p > n

Annahme: p != n+1

=> k * p enthält einen Primfaktor (eben p), der nicht in (n+1) * n enthalten ist
=> k * p != (n+1) * n => Widerspruch

=> p = n+1


=> n + p = 2n + 1.


Den Rest solltest du so schaffen.

Tip: es trifft auf genau eine Zahl in der Auswahl zu

Außerdem: p > n

Wieso?

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@ralphdieter

Siehe Kreisförmigs Antwort.

p teilt nicht n und alle Zahlen kleiner n.

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Hallo YStoll,

nur etwas zur Schreibweise:   Zwar ist mir bekannt, dass die Zeichenkombination   "!="   auch etwa (seinerzeit in Fortran) für die Ungleichheit  benützt wird.  Gerade im Zusammenhang mit einer solchen Frage aus dem Bereich der natürlichen Zahlen kann dies aber sehr leicht verwechselt werden, indem nämlich das Ausrufzeichen als "Fakultät" missverstanden werden könnte.

Auf den meisten Tastaturen findet man aber das Ungleichheitszeichen   " ≠ "  sehr wohl und kann deshalb hier verwendet werden. Auf meiner (Mac-) Tastatur ist das Symbol etwa unter  " alt = "   abzurufen.

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@rumar

Danke für den Hinweis.

Ich habe sogar noch darüber dachgedacht und überlegt ob ich es dazu schreiben soll, mich aber dagegen entschieden.

Ich dachte mir bei Unklarheiten kann man ja nachfragen.

Ich habe ein bisschen rumprobiert, aber leider keine Tastenkombi für ≠ gefunden.

Wenn ich es mal wieder brauche werde ich es also entweder kopieren oder != verwenden und eventuell dazuschreiben was ich meine.

Geschieht mir Recht dafür angesprochen zu werden.
Normalerweise bin ich es, der die Leute auf die Bedeutung des Zeichens "!" in der Mathematik hinweist.
Dann aber in einem eher trollenden Weg.

https://www.gutefrage.net/frage/wie-viele-dm3-sind-in-einem-meter3?foundIn=list-answers-by-user#answer-221429471

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