Wie kann ich dieses Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen?

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6 Antworten

Neben dem von Melvissimo beschriebenen Vorgehen könntest Du beide Gleichungen nach y umstellen und hättest quasi 2 Geradengleichungen der Form y=mx+b.

Es gibt bei diesen Gleichungen (Geraden) keine Lösung (Schnittpunkt), wenn m in beiden Gleichungen den selben Wert hat, da die Geraden dann parallel liegen.

Also nach dem Umstellen nach y die Werte vor dem x gleichsetzen und nach c umstellen und Du hast die Lösung (vorausgesetzt, das b ist nach dem Einsetzen von c nicht auch gleich, dann wären die Geraden identisch)

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Es gibt drei spezielle Verfahren:

Eins davon ist auf jeden Fall das Additionsverfahren/Subtraktionsverfahren

Dabei versucht man mit Hilfe des Addierens/Subtrahierens eine Unbekannte weg zu kriegen

Dann gibt es  auch noch das Gleichsetzungsverfahren,da setzt man zwei Terme gleich(Beispiel : 7q-4r    5u-9o  wäre gleich 7q-4r=5u-9o   und dann einfach ausrechnen)

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Du musst dir einen Wert für c suchen, so dass sich die beiden Gleichungen widersprechen.
Z.B. c=20/7 würde passen.
Wenn du c=20/7 in die 2. Gleichung einsetzt, lautet die:
4x + 20/7 y = 5
Jetzt multiplizier diese Gleichung mit 7/4, dann steht da:
7x + 5y = 35/4
Das ist ein Widerspruch zur 1. Gleichung, also ist das Gleichungssystem mit c=20/7 NICHT lösbar.

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Kommentar von FataMorgana2010
05.09.2016, 15:53

Und wie kommst du darauf? 20/7 ist ja nun nicht eine Zahl, die einen sofort anspringt...

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Kommentar von Rubezahl2000
05.09.2016, 16:14

Der Faktor vor dem x ist in der 2. Gleichung das 4/7 - fache von der 1. Gleichung.
Deshalb hab ich c so gewählt, dass der Faktor vor dem y in der 2. Gleichung auch das 4/7 - fache der 1. Gleichung ist.
So unterscheiden sich die beiden linken Seiten der beiden Gleichungen um den Faktor 4/7, die rechte Seite aber NICHT.
Das ist der Widerspruch.

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Jede deiner Gleichungen kannst du als Gleichung einer Gerade interpretieren. Eine Lösung des Gleichungssystems ist dann der Schnittpunkt beider Geraden. Wann haben zwei Geraden keinen Schnittpunkt? Wenn sie parallel sind aber nicht identisch, also die gleiche Steigung haben, aber nicht denselben  Achsenabschnitt. 

Also wandeln wir mal um (auflösen nach y)

I. y = 2 - 7/5 x

II. y = 5/c - 4/c x

Damit wir die letzte Umformung machen dürfen, müssen wir ausschließen, dass c = 0 gilt. Für c = 0 hat das Gleichungssystem aber eine Lösung (setz mal ein, dann siehst du das), kommt also nicht vor. 

Keine Lösung bekommen wir möglciherweise, wenn -7/5 = -4/c ist. 

-7/5 = -4/c  

7/5 = 4/c 

c * 7/5 = 4

c = 4 * 5/7 = 20/7

Für c = 20/7 sind die beiden Geraden also parallel. 

Setze ich das in II. ein, so bekomme ich 

y = 5/ (20/7) - 4/(20/7) = 7/4 - 7/5 x

Da 7/4 nicht gleic 2 ist, sind die beiden Geraden nicht identisch. Also gibt es keinen Schnittpunkt. 

c= 20/7 ist also die Lösung der Aufgabe. 

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Wenn du dir c frei aussuchen kannst, sind es ja eigentlich nur 2 Unbekannte.

Also lös doch das LGS einfach mal nach x und y auf, wobei du c wie eine ganz normale Zahl behandelst.

Wenn dir unterwegs ein Schritt auffällt, den du nicht durchführen kannst, wenn c einen bestimmten Wert annimmt, könnte das schon der gesuchte Wert sein.

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I. 7x + 5y = 10
II. 4x + cy = 5

Zuerst stellen wir I. nach y um:

I'. y = (10 - 7x)/5

Jetzt setzen wir I' in II ein:

II'. 4x + c((10 - 7x)/5) = 5         |*5

II'. 20x + c(10 - 7x) = 25

II'. 20x + 10c - 7cx = 25

II'. x(20 - 7c) + 10c = 25

II'. x(20 - 7c) = 25 - 10c

II'. x = (25 - 10c)/(20 - 7c)

Was müssen wir also jetzt tun, damit x keine Lösung hat? Eine Division durch Null bietet sich hier an.

Also muss der Nenner null sein:

20 - 7c = 0 ⇔ c = 20/7

Für c = 20/7 hat das Gleichungssystem also keine Lösung.

Wenn du versuchst, das Gleichungssystem zu lösen, wirst du auf den Widerspruch 0 = -5/7 stoßen. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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