Wie kann ich diese uebung loessen 2+3+5+8+....+(3n-1)=(n(3n+1))/2?

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1 Antwort

Hi,

Ich vermute, dass in der Überschrift die "+3" zuviel ist.

Du scheibst 2+3+5+8+...+(3n-1), welches die Summe einer Zahlenfolge des allgemeinen Gliedes aₙ=3n-1 sei.

Mit diesem aₙ gilt aber:

a₁ = 2 ; a₂ = 5 ; a₃ = 8 usw., d.h. die Summe der Folgenglieder ∑aₖ ist gleich 2+5+8+11+...+(3n-1) (k=1,...,n); eine "+3" kommt nicht vor.

D.h. entweder die "+3" in der Summe ist zuviel und der Term aₙ=3n-1 ist richtig, oder die "+3" in der Summe ist richtig, aber dann wäre der Term aₙ=3n-1 falsch (da es kein n ∈ ℕ gibt mit aₙ=3 ).

Ich gehe also davon aus, dass das Folgenglied aₙ=3n-1 richtig ist, weil damit auch die Summenformel (k=1 bis n) ∑(3k-1)=n(3n+1)/2 stimmt, wie man für die ersten Folgenglieder leicht überprüft.

Es ist also zu zeigen, für alle n ∈ ℕ gilt:

(k=1 bis n) ∑(3k-1)=n(3n+1)/2 [SF]

([SF] für "Summenformel")

Induktionsanfang: n=1

a₁=3*1-1=2=1*(3*1+1)/2 = 4/2. (richtig)

Induktionsvorraussetzung (IV):

Wir nehmen an, dass für ein n ∈ ℕ die Summenformel [SF] wahr ist.

Zu zeigen ist, dass sie dann auch für n+1 wahr ist.

D.h. wir müssen zeigen, das gilt:

(k=1 bis n+1) ∑(3k-1)=(n+1)[3(n+1)+1]/2 [SF']

bzw.

(k=1 bis n+1) ∑(3k-1)=(1/2) [(n+1)(3n+4)]

nach Vereinfachung der rechten Seite der Gleichung [SF'].

Es gilt:

(k=1 bis n+1) ∑(3k-1) =

(k=1 bis n) ∑(3k-1) + aₙ₊₁ = ∑(3k-1) + 3(n+1)-1 = ∑(3k-1) + 3n+2

(Ausnutzen der IV):

= n(3n+1)/2 + 3n+2= n(3n+1)/2 + 2(3n+2)/2

= (1/2)[n(3n+1)+2(3n+2)] = (1/2)[n(3n+1)+6n+4)]

= (1/2)[3n²+7n+4] = (1/2) [(n+1)(3n+4)]

was zu zu zeigen war.

Gruss

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