Wie kann ich diese Matheaufgabeufgabe lösen?

Aufgabe 4 - (Mathe, Mathematik, Funktion) Aufgabe 7 - (Mathe, Mathematik, Funktion)

1 Antwort

Bei Aufgabe 4 geht es bei f(x) um die y-Werte der Funktion: Die y-Werte sind oberhalb der x-Achse positiv (y = f(x) > 0), genau darauf Null und darunter negativ. f'(x) geht es um die erste Ableitunge von f(x): Steigen die y-Werte mit steigenden x-Werten an, so ist die erste Ableitung positiv, bleiben sie gleich (der Graph von f(x) verläuft parallel zur x-Achse), so ist die erste Ableitung gleich Null und fallen die y-Werte mit steigenden x-Werten ab, so ist die erste Ableitung negativ. Bei f"(x) geht es um die zweite Ableitung von f(x): Krümmt sich der Graph von f(x) im x-y-Diagramm mit steigenden x-Werten links herum (gegen den Uhrzeigerrichtungssinn, konkav - Eselsbrücke: An der Stelle eines lokalen Minimums "kann man von oben Kaffee reingießen, ohne daß er rausläuft".) bzw. steigt steiler an, dann ist die zweite Ableitung positiv. Geht er "geradeaus" (z.B. an der Stelle eines Wendepunktes), so ist die zweite Ableitung gleich Null. Krümmt sich der Graph von f(x) im x-y-Diagramm mit steigenden x-Werten rechts herum (im Uhrzeigerrichtungssinn, konvex) z.B. an der Stelle eines lokalen Maximums bzw. fällt steiler ab, dann ist die zweite Ableitung negativ. Das sollte als Leitfaden zur Klassifizierung ausreichen. Bei Aufgabe 7 muß ich wegen der leidlichen Auflösung des Bildes raten: a) Es geht um die erste Ableitung von f(x), also f'(x): Die Frage ist also gemäß der Erläuterungen aus Aufgabe 4: Wo geht der Graph am steilsten nach oben bzw. unten? Am größten ist erste Ableitung an der Stelle x6 und am kleinsten an der Stelle x1. b) Es geht um die zweite Ableitung von f(x), also f"(x). Des weiteren nehme ich anhand des Graphen von f(x) an, daß es sich bei f(x) um ein Polynom 4. Grades handelt. Da sich der Grad eines Polynoms bei jeder Ableitung um eins verringert gehe ich davon aus, daß die zweite Ableitung von f(x), also f"(x) eine Parabel ist. Die Parabel hier hat zwei Nullstellen. Das sind die Wendepunkte an der Stelle zwischen x2 und x3 sowie an der Stelle x4 (geschätzt). Dazwischen ist die Parabel negativ, links und rechts davon positiv. Die Stelle mit dem kleinsten Wert von f"(x) ist also mit Sicherheit das lokale Maximum von f(x) an der Stelle x3. Zu entscheiden, welche Stelle von f"(x) den größten Wert hat, ist anhand des (undeutlichen) Bildes schwer zu beantworten. Eine Parabel hat einen zu ihrem lokalen Extremwert symmetrischen Verlauf. Welcher Wert von f"(x) der Stellen x1 oder x6 größer ist, hängt also davon ab, welche Stelle den größeren Abstand zu dem danebenliegenden lokalen Minimum hat. Da die Abstände im Bild fast gleich sind und nach einer Stelle (und nicht "an welchen Stellen" - Mehrzahl) gefragt wird, will ich mich hier nicht festlegen, ob x1 oder x6 die Stelle mit dem größten Wert von f"(x) ist. c) Es geht um die Werte von f(x), also die y-Werte. Der y-Wert ist am größten, wenn er sich im x-y-Diagramm "am weitesten oben" befindet. Das weitere ist trivial ("echt voll krass easy":-).
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Zitat: "...hängt also davon ab, welche Stelle den größeren Abstand zu dem danebenliegenden lokalen Minimum hat."

Genauer: "...hängt also davon ab, welche Stelle den größeren Abstand zu dem danebenliegenden lokalen Minimum von f(x) hat."

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