Wie kann ich diese Funktion "(x^2+4)/(4*x)" Ableiten?

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4 Antworten

Die Quotientenregel ist verschieden überliefert. Ich ziehe diese leicht merkbare Form vor:

f(x) = u / v

f '(x) = vu' - uv' / v²            Zähler und Nenner beginnen mit dem gleichen Term

Wohlan denn:

f(x) = (x² + 4) / (4x)

u = x² + 4    u' = 2x
v = 4x          v' = 4

f '(x) = (4x * 2x) - (4x² + 16) / (4x)²
       = (8x² - 4x² - 16) / (16x²)
       = 4x² / (16x²) - 16/ (16x²)
       = 1/4  -  1/x²                         x ≠ 0


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Man könnte diese einfache Funktion auch in Summanden zerlegen und termweise ableiten. (Siehe: Ellejolka)
Das geht immer dann, wenn man sie gut kürzen kann.

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Kommentar von Volens
02.02.2017, 00:26

Korr.:
Exakte Darstellung      f '(x) = (vu' - uv')  / v²

Die Klammern sind hier schon wichtig!

2

Bevor du überhaupt mit irgendetwas anfängst zu rechnen, immer vorher überlegen, ob sich ein Ausdruck vereinfachen lässt !

Das kannst du auch umschreiben -->

y = (x ^ 2 + 4) / (4 * x) = (1 / 4) * x + 1 / x

Und das lässt sich nochmal umschreiben -->

y = (1 / 4) * x + (x) ^ (-1)

Nun wendest du die Faktorregel, die Summenregel und die Kettenregel (innere mal äußere Ableitung) an -->

(schaue bei Google im Internet nach)

y´ = (1 / 4) + 1 * (-1) * x ^ (-2)

y´ = (1 / 4) - 1 / x ^ 2

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(x²+4)/(4x)

=

x²/(4x)   + 4/(4x) =

1/4 x + 1/x  =

1/4x + x^-1       jetzt ableiten

1/4 - x^-2      =

1/4 - 1/x²

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Kommentar von habFrage
02.02.2017, 01:10

ich würde 1/4 x in diesem Fall lieber als x/4 schreiben damit niemand auf die Idee kommen kann es als 1/(4x) zu lesen... Alles schon da gewesen...

0

dafür gibt es eine Quotientenregel... alternativ kannst du auch die Produktregel verwenden

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