Wie kann ich diese Aussage bestätigen?

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1 Antwort

Stückkosten = s(x) = K(x)/x. Annahme: K(·) ist überall auf (0,∞) differenzierbar. Angenommen, x₀ > 0 ein lokaler Extrempunkt von s. So gilt s´(x₀) = 0. Man berechnet:

s´(x) = K´(x)/x – K(x)/x² = (x·K´(x)–K(x))/x².

Darum ist s überall auf (0,∞) und insbesondere bei x₀ differenzierbar. Für x>0 gilt also

s´(x) = 0 ⟺ x·K´(x)–K(x) = 0 ⟺ x·K´(x)=K(x).

Folglich gilt

(§)        x₀·K´(x₀) = K(x₀).

Sei nun T die Tangente zur Kurve K im Punkte x₀. Dies ist gegeben durch:

y–K(x₀) = m·(x–x₀)

wobei m = K´(x₀).

Die Tangente ist nun eine Ursprungsgerade genau dann, wenn (0; 0) ∈ T ⟺ 0–K(x₀) = m·(0–x₀) ⟺ m·x₀  = K(x₀) ⟺ K´(x₀)·x₀ = K(x₀). Wegen der Eigenschaft (§) gilt Letzteres aber schon. Darum ist T eine Ursprungsgerade.

Also ist die Tangente zur Kurve K im Punkt, wo K / x eine kritische Stelle ist, eine Ursprungsgerade.

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