Wie kann ich die Steigung m mithilfe von dem Punkt A(1/6) bestimmen?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Ich nehme mal an, die Funktionen sind nicht linear?

Sei A(a | b) gegeben. Die Steigung m der Funktion f(x) im Punkt A ist dann gegeben durch f'(a)=m, solange A auf f liegt.

Ergo: Die Funktionen ableiten und dann jeweils die x-Koordinate von A einsetzen.

Sind die Funktionen linear, so kann man die Steigung ablesen, wenn der Funktionsterm gegeben ist. Sei f(x)=mx+n eine Gerade, so gibt m die Steigung an. f(x)=3x-4 hat z.B. die Steigung 3.


Die Funktionen sind linear.

Doch zum ablesen finde ich hier leider auch nichts.

So sind die Aufgaben aufgebaut: B.s  y= mx+3  A(1/6)  Bestimme M 

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@XXmichelle22x

Na, das geht doch schon eher.

Weißt du denn, wie du aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung erstellen kannst? Dann sind wir nach einem kleinen Trick schon am Ziel.

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@XXmichelle22x

Gut, dann ein anderer Ansatz:

Du hast die Geradengleichung y=m*x + 3 gegeben. Weißt du noch, dass du eine Gleichung lösen kannst, solange sie nur eine Variable besitzt? Wenn in der Funktionsgleichung jetzt nur m und sonst nur richtige Zahlen stünden, so könnte man m doch berechnen.

Würde die Gleichung bspw. m+4=6 lauten, dann würde doch ganz leicht m=2 folgen.

Uns stören x und y jedoch. Die machen es bislang unmöglich, m zu bestimmen. Anstatt von x und y wollen wir viel lieber Zahlen haben, mit denen kann man nämlich vernünftig rechnen.

Hast du vielleicht eine Idee, wie man x und y wegkriegt oder ersetzen kann? A besteht doch aus einer x- und einer y-Koordinate und muss ja scheinbar für die Lösung relevant sein. Wie könnte man da jetzt die Informationen einbringen, die A beinhaltet?

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@MeRoXas

Man könnte diesen Punkt A (1/6) einsetzen. Für X =1 und y=6 

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@XXmichelle22x

Richtig! Nun bist du doch schon fast fertig.

Mach das doch einfach mal und schreib die Gleichung auf. Vielleicht kriegst du sie ja sogar schon gelöst.

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@MeRoXas

6= m * 1+3  - merke gerade hab mich verrechnet habe nach den 1+3 nochmal + 2 gerechnet aber es ist ja * .  Würde sagen m=1.5

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@XXmichelle22x

Punkt vor Strich bitte beachten!

Da steht nicht 6 = m * (1+3), sondern 6=m*1 + 3

Multiplikation kommt hier vor Addition, das Päckchen mit m rechnest du also zuerst aus: m*1 ist einfach m.

Also 6=m+3

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@MeRoXas

Ach Ja, danke für diesen wichtigen Hinweis.Das hab ich ganz vergessen!

M=3 dann:))

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@XXmichelle22x

...und damit wärst du dann fertig.

Tipp: Um zu überprüfen, ob m stimmt, kannst du es ja einfach in 6=m*1+3 einsetzen. Wenn da eine wahre Aussage entsteht, dann ist auch m richtig.

Beispiel hier: m=3 --> Einsetzen

6=3*1 + 3

-> 6=6 -> Wahre Aussage, m stimmt.


So gehen jetzt auch wahrscheinlich die nächsten Aufgaben. Punkt einsetzen, und nach m lösen (und Punkt vor Strich beachten ;-) ).

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@MeRoXas

Vielen Dank :) Die nächsten Aufgaben müsste ich schaffen 😊😊

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@MeRoXas

Bei einer neuen Aufgabe muss ich den selben Prozess nochmal machen, nur das ich jetzt Punkt A und B gegeben hat.

Wie rechne ich das jetzt?Einfach irgendein punkt aussuchen? Oder jeweils einen Wert von beidem nehmen ?

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@XXmichelle22x

Dazu müssten wir auf vorhin zu sprechen kommen. Ich fragte dich, ob du eine Gerade durch 2 Punkte bestimmen könntest. Da führe ich dich jetzt mal drin ein.

Wenn du die Frage nach m graphisch lösen würdest, würdest du doch ein Steigungsdreieck an zwei Punkten anlegen, welche du gut ablesen kannst, und dann die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilen. Aber: Das graphische Lösen kannst du dir sparen! Du hast doch schon zwei Punkte gegeben, musst also keine weiteren mehr ablesen. Und jetzt machst du genau das, was du bei der graphischen Lösung getan hättest, hättest du dort zwei Punkte abgelesen.

Allgemein gilt für Geraden: Die Steigung m berechnet sich immer aus der Differenz der y- und x-Werte zweier bekannter Punkte.

Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(x₁ | y₁) und B(x₂ | y₂) lautet somit: m= (y₂-y₁) / (x₂-x₁)

Wie lautet dann die Steigung der Geraden, welche durch die dir angegebenen Punkte verläuft? Um die Bestimmung von n kümmern wir uns danach.

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@XXmichelle22x

Ja, was du dann berechnet hast, stimmt.

Nur an der Notation feilen wir noch:

Nicht y=1 und x=2, sondern Δy=1 und Δx=2.

Das Dreieck ist ein griechisches Delta und steht für eine Differenz. Da du hier zwei Differenzen gebildet hast, ist Delta angebracht.

Damit kann man die Steigungsformel von vorhin ausweiten:

m=Δy / Δx


Jetzt setzen wir das mal ein:

m=1/2


Die allgemeine Geradengleichung lautet ja:

y=mx+n, und m=1/2 kennen wir:

-> y=1/2 * x + n


Weißt du, was dieses n angibt? Dann kannst du es leicht berechnen, ansonsten erkläre ich es dir.

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@XXmichelle22x

Nein, für m setzt du nur die Zahlen ein, die du durch die Differenzenbildung erhalten hast.

Steht ja auch oben: Δy=1 und Δx=2.

Die Formel lautet: m=Δy / Δx. Jetzt guck oben auf das dick markierte, das setze ich ein: m=1/2. In m haben x und y absolut nichts verloren.
Δy und Δx sind nur andere Bezeichnungen für Zahlen, die du ausrechnen kannst. Hier habe ich für Δy in der Formel die Zahl 1 eingesetzt, für Δx die Zahl 2

Da du m kennst, kannst du die allgemeine Geradengleichung ergänzen. Das dick markierte ist der Teil, wo in der Gleichung zuvor m stand:

y= 1/2 * x + nJetzt zu dem neuen Teil: Vor ein paar Stunden hast du einen Punkt in die Gleichung eingesetzt, um nach m zu lösen, während du n gegeben hattest.

Nun ist es genau anders herum: m ist gegeben, und n ist gesucht. Die Prozedur ist trotzdem die gleiche: Setze einen der zwei Punkte in die oben stehende Geradengleichung ein und löse nach n, genau so, wie du es vorher für m gemacht hast.

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@MeRoXas

Und wie gebe ich 1/2 zB  in den Taschenrechner ein? Also kann man das auch so schreiben: 1,2?

Y= 1/2 *x + 1 

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@XXmichelle22x

Du bist noch nicht fertig, da kannst du noch nix eingeben. Dein n fehlt doch noch, du hast da jetzt, wieso auch immer, 'ne 1 hingeschrieben.

Berechne doch zuerst n, wie ich es beschrieben habe.

Setze bspw. A(4 | 1) in y=1/2 * x + n ein und löse nach n. 4 nimmst du hier für x und 1 für y, das sind nämlich die Koordinaten des Punktes.

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@MeRoXas

Die 1 habe ich hingeschrieben weil ich ja den Punkt A(4/1) einsetzen muss.

Also n=1

Also: y=1/2 * 4+1 ??

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@XXmichelle22x

Du willst n ausrechnen, da setzt du nix ein. Für y in der Gleichung setzt die 1 ein, denn A(4|1) hat die y-Koordinate 1.

Hast du doch bei dem Zeugs vorhin gemacht.



Man könnte diesen Punkt A (1/6) einsetzen. Für X =1 und y=6 
...
6= m * 1+3


Da hast du für x die 1 eingesetzt, für y die 6.
Hier musst du nun bei y=1/2 * x + n für x die 4 ein, für y die 1. Dann löst du nach n - denn x und y verschwinden ja und werden durch Zahlen ersetzt, n ist also die einzige Unbekannte - und damit kannst du n berechnen.

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@MeRoXas

Achso. Ah ja stimmt, wie bei der vorherigen Aufgabe. 

1= 1/2 *4+n 

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@XXmichelle22x

Genau richtig.

Jetzt nur noch Punkt vor Strich beachten. Am besten rechnest du 1/2 * 4 erst aus, bevor du es nach links bringst.

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@XXmichelle22x

Nein, natürlich nicht?

1/2 heißt 1 geteilt durch 2. Ich glaube kaum, dass die 2 1.2 mal in die 1 passt, oder? Lass den Bruch einfach stehen.

Es gilt: (a/b) * c = (a*c)/b.
Heißt zu deutsch: Multiplizierst du eine 'normale Zahl' mit einem Bruch, dann kannst du diese Zahl als Multiplikation mit oben auf den Bruchstrich schreiben.

1/2 * 4 wird dann zu (1*4) / 2. Das kannst du bestimmt ausrechnen. 4 geteilt durch 2 ist...?


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@XXmichelle22x

Also hast du:

1=2+n

n ist dann ja jetzt ganz easy zu berechnen. Du müsstest n = -1 bekommen (bitte selber nachrechnen).

Damit lautet die Geradengleichung:

y=1/2 * x - 1 und du bist fertig.

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Mathe 2 Tangenten in einem Punkt

Hallo

Ich häng mal wieder an einer Matheaufgabe fest und bin mir nicht sicher. Folgende Aufgabenstellung: d) Florian behauptet: "Durch jeden Punkt des Graphen f gibt es 2 Geraden, die Tangenten an diesem Graphen sind." Erörtern sie diese Behauptung ohne Rechnung ausführlich anhand von Skizzen. Präzisieren sie ggf. Florians Behauptung, begründen Sie ihre Antwort und belegen Sie Ihre Ergebnisse in Spezialfällen rechnerisch!

Also ich bin der Meinung, dass es in jedem Punkt nur eine Tangente geben kann, da jeder Punkt nur eine momentane Änderungsrate hat und die Ableitungsfunktion jedem Punkt des Graphen nur einen Wert als Steigung zuordnet. Ist das richtig oder gibt es da Sonderfälle? Und wie soll ich das mit einer Skizze begründen?

e) Überprüfen Sie Ihre Erkenntnisse aus Teilaufgabe d) an den Funktionen g(x) = x^3+0,5x und h(x)=(x+2)x(4-x)

Wie soll ich es da begründen?

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