Wie kann ich die Nullstellen einer Funktion 3. und 4. Grades berechnen OHNE ausklammern Methode anzuwenden?

5 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Es gibt eigenlich diese 3 Hauptmethoden, welche man in der Schule lernt...

Einmal das Faktorisieren (Ausklammern)
,welches du anwendest, wenn du kein Absolutglied hast...

Die Substitution: (Ersetzen)
Das kannst du amwenden, wenn du eine Biquadratische Funktion hast..
z.B. f(x) = x^4 · x^2 + 8

Dabei ersetzt du das x^2 durch z, oder irgendeine andere Variable... Sodass dort steht: f(x) = z^2 · z + 8
Dann könntest du wie gehabt mit der PQ Formel und Co weiter rechnen...

oder ebend die Polynomdivision:
Dabei ermittelst du eine Nullstelle durch systematisches Probieren.. Die Nullstelle schreibst du entgegengesetzt in einem Linearfaktor und teilst diesen durch deine Funktion...
Bsp: Du setzt 1 für x ein und erhältst 0... Dann ist 1 eine geratene Nullstelle..
Der Linearfaktor wäre dann
(x-1) welchen du durch deine Funktion teilst

Ok danke hab ich mal gemacht bei dieser Aufgabe aber ich komme nicht weiter da bleibt ein Rest übrig wir soll ich bloß damit mit der pq Formel nun die restlichen nullstellen berechnen oder hab ich mich irgendwo vertan? Wäre schön wenn du drüber schaust!

https://ibb.co/mC7hEx

Mit freundlichen Grüßen

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2x - 4x sind -2x und nicht 2x (Die Zeile unter dem zweiten Strich)

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Hallo,

wenn kein absolutes Glied da ist, kannst Du bei einer Funktion dritten Grades ein x ausklammern, so daß entweder x gleich Null werden muß (erste Lösung) bzw. das Restpolynom zweiten Grades.

Hast Du eine Gleichung der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d, funktioniert das Ausklammern nicht.

Du könntest eine Nullstelle erraten (wenn Du Glück hast, ist es ein ganzzahliger Teiler von d) und danach eine Polynomdivision durch (x-Nullstelle) durchführen.

Das ist die an der Schule übliche Methode.

Läßt sich keine Nullstelle erraten, könntest Du das Newton-Verfahren, ein Näherungsverfahren, anwenden, das Dir aber nicht automatisch jede mögliche Nullstelle liefert.

Dann gibt es noch den Taschenrechner, der Dir die Nullstellen ausspuckt (am einfachsten) oder die Cardanische Formel.

Um sie anzuwenden, mußt Du die Gleichung zunächst durch den Faktor vor dem x^3 teilen, so daß Du eine Gleichung der Form x³+ax²+bx+c=0 bekommst.

Fehlt das quadratische Glied, kannst Du die reduzierte Form der Cardanischen Formel anwenden, die etwas handlicher ist.

Bei Funktionen vierten Grades, bei denen weder Ausklammern noch Erraten einer Nullstelle hilft, hast Du vielleicht eine biquadratische Gleichung der Form

ax^4+bx^2+c=0.

Hier kannst Du x^2 durch u substituieren, um au^2+bu+c über die abc-Formel zu lösen, um anschließend die beiden Wurzeln aus den Lösungen für u zu ziehen, um so auf die Lösungen für x zu kommen.

Hast Du eine Gleichung der Form ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, bleibt Dir, falls das Erraten zweier Nullstellen nicht funktioniert, ein Näherungsverfahren, der Taschenrechner oder die Formel von Ferrari, der die Gleichung

x^4+ax^3+bx^2+cx+d zunächst auf eine Gleichung dritten Grades zurückführt, um über die Cardanische Formel eine Hilfsgröße z zu berechnen, mit deren Hilfe man schließlich zu den vier Lösungen für x kommt, worin auch eventuelle komplexe Lösungen eingeschlossen sind.

Das geht normalerweise über die Fähigkeiten von Schülern hinaus und wird an der Schule nicht unterrichtet.

Herzliche Grüße,

Willy

Ok danke hab ich mal gemacht bei dieser Aufgabe aber ich komme nicht weiter da bleibt ein Rest übrig wir soll ich bloß damit mit der pq Formel nun die restlichen nullstellen berechnen oder hab ich mich irgendwo vertan? Wäre schön wenn du drüber schaust!

https://ibb.co/mC7hEx

Mit freundlichen Grüßen

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Funktion 3. Grades

Wenn du Glück hast und findest eine ganzzahlige Lösung im Absolutglied, machst du eine Polynomdivision und löst den Rest mit p,q.

Funktion 4. Grades

Wenn nur gerade Exponenten vorhanden sind, kannst du substituieren.

Ansonsten nach zwei ganzzahligen Lösungen suchen und zweimal Polynomdivision, erst herunter auf 3. Grad, dann auf 2. Grad. Restgleichung mit p,q.

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Wo ich deine Frage unten sehe:
dividiert wird die Funktion durch den Linearfaktor aus der 1. Lösung: (x - x₁)

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Ok danke aber du sagtest ja polynomdivision, das macht man ja mit der erratenen nulll stelle, aber was wenn sie 0 ist? Geht ja auch oder? Dann müsste man die Gleichung geteilt durch (x-0) dividieren oder was das geht doch garnicht?

Mit freundlichen Grüßen

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@Nichtsnutz12

Das brauchst du auch nicht. Das wäre der Fall, wo Null auszuklammern geht, sonst tritt die Situation gar nicht auf.

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Ja klar aber dann würde doch als Polynomdivisions Ergebnis 0x^3 +0x^2+0x rauskommen wenn zb X1=0 ist...?

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Hmmm ok danke bin ja mal gespannt in der Prüfung tritt das dann bestimmt auf... naja egal bb

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@Nichtsnutz12

Du siehst das falsch. Wenn du das x ausgeklammert hast, sofern das geht, können die Lösungen ja nie gleichzeitig auftreten. Wenn die Lösung für x = 0 dran ist, dann gilt sie und keine andere. Wenn eine der anderen Nullstellen dran ist, wird der jeweilige Linearfaktor gleich Null, aber immer nur einer zur Zeit.
So etwas nennt man dann eine Fallunterscheidung.

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Ok danke hab ich mal gemacht bei dieser Aufgabe aber ich komme nicht weiter da bleibt ein Rest übrig wir soll ich bloß damit mit der pq Formel nun die restlichen nullstellen berechnen oder hab ich mich irgendwo vertan? Wäre schön wenn du drüber schaust!

https://ibb.co/mC7hEx

Mit freundlichen Grüßen

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@Nichtsnutz12

Die von dir angenommene Zahl ist leider keine Lösung der Gleichung.
Dann geht die Polynomdivision nicht auf.

Nimm doch mal x³ + 2x² - 5x + 6 = 0

Du musst dann aber den LF auch suchen, nicht einfach irgendeinen Teiler von 6 nehmen.

Hier wäre die erste Nullstelle -1, also LF = (x+1)

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@Volens

Ich bin später wieder online. Mein Status ist im Profil in meiner Webseite abgelegt.

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@Volens

In meiner Aufgabe ist ein Plus falsch.

x³ - 2x² - 5x + 6 = 0

  1. Lösung: x = +1

LF (x - 1)

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Wäre vielleicht nützlich zu wissen wie diese „Funktion“ heißt.

Woher ich das weiß:Hobby – Schüler.

Ist doch egal also zb: 4x hoch 4 + 3x hoch 3 + 2x hoch 2+ 1x + 100....

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Dies ist eben NICHT egal.

Also bei Funktionen 3.  Grades kannst du folgende Lösungen anwenden.

• Polynomdivision/Horner Schema
• Radizieren
• Binomische Formel
• Newton
• Gruppieren
• (Ausklammern)

Nicht alle Möglichkeiten funktionieren immer!

Funktionen 4 Grades :

• Gruppieren
• (Ausklammern)
• Substitution
• Radizieren
• Polynomdivision/Horner Schema
• Newton
• Binomische Formel

Es kommt also drauf an welche Funktion man hat.

Bsp : f(x) = x^4+8x^3+22x^2+24x+9

x^4 + 8x^3+22x^2+24x+9 = 0

Du siehst es wahrscheinlich nicht, aber dies ist eine erweiterte binomische Formel der Form (a+b+c)^2 = a*a+b*b+c*c+2*a*b+2*a*c+2*b*c

Faktorisieren :

(x^2+bx+c)^2 = x^4 + x^2b^2+c^2+2bx^3+2cx^2+2bcx
x^4 +2bx^3 + x^2b^2+c^2 + 2cx^2+2bcx

2b = 8 <=> b = 4
2bc = 24 <=> 8c = 24 <=> c = 3

Daher : (x^2+4x+3)^2 = 0

x^2+4x+3 = 0
(x^2+4x+2^2-2^2)+3 = 0
(x^2+4x+2^2)-4+3 = 0
(x+2)^2-1 = 0
(x+2)^2 = 1
x + 2 = 1 => -1
x + 2 = -1 => -3

Also zwei doppelte Nullstellen!

Problem verstanden?

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Polynomdivision

Jetzt echt? Mit was soll ich teilen?

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