Wie kann ich die Kettenregel erklären f(x)=2xe+4e?

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4 Antworten

Es gibt einen kleinen Trick, um dem Verständnis nachzuhelfen.
Hier ist es ja praktisch so, dass zwei Funktionen ineinander konstruiert sind.
Eine ist eine lineare                (2x + 4)

die andere ist eine e-Funktion    e^( ).

Man denkt sich jetzt: Die Ableitung von e^x wäre ja e^x,
das ginge dann auch mit der Klammer:
Ableitung von     e^(2x + 4 ) ist wieder e^(2x + 4).
Das nennt man äußere Ableitung.

Die andere Funktion hat man durch die Klammer eindeutig identifiziert, und die kann man auch ableiten:        (2x + 4)' = 2    Das nennt man innere Ableitung.

Die beiden Ableitungen miteinander multipliziert sind dann die komplette Ableitung nach der Kettenregel.

f '(x) = 2 * e^(2x + 4)

So kann man es sich gut merken: e hoch Klammer mal (Klammer)'

Echt was für Liebhaber von Eselsbrücken!

ich habe mich leider verschrieben es muss heißen f(x)=e hoch 2x+4 :( tut mir leid

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@ysmnmjb

Für das, was in der Überschrift steht, brauchst du gar keine Kettenregel, denn e ist ja nur eine Zahl.


f(x)  = 2e x + 4e
f '(x) = 2e


e ^
(2x+4)
habe ich ja in der Antwort abgeleitet:
2 * e^(2x + 4)


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@Volens

wieso steht in der Antwort unten nicht 2x+4 sondern nur 2x? wo ist der Fehler ? 

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@ysmnmjb

Wo ist denn jetzt "unten"?
Ich begreife im Augenblick nicht, was du meinst.

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Damit gar nicht, denn hier gilt die einfache Potenzregel → die Ableitung deiner Funktion ist 2e.

Zur kettenregel: Es gibt Regeln zur Reihenfolge des Ausrechnens, wenn du für x eine Zahl einsetzt → bei der Kettenregel drehst du diese Reihenfolge um.
Beispiel: f(x)=(2x²+3)³ → Reihenfolge bei Ausrechnen: in der Klammer Quadrieren - multiplizieren - addieren - Klammer potenzieren
f’(x): die 3.Potenz (Potenzregel) - Klammer → f’(x) = 3·(2x²+3)²×(4x)..... Das × ist ein Mal-Zeichen und soll nur die Trennung von äußerer und innerer Ableitung (andere Erklärung für Kettenregel) zeigen

Wenn du es verstanden hast, heißt es: ÜBEN, ÜBEN, ÜBEN - dann bleibst zumindest für die Schulzeit hängen :-)

2*e^2x, der 2 kommt von der inneren Ableitung und e^2x ist die äußere Ableitung

meinst du die Kettenregel zur Ableitung oder zur Integration?

und steht die +4 im Exponent?

mein Mathematiklehrer fragte, wer die Kettenregel vorstellen möchte und meinte ich soll dies anhand dieser Funktion machen. 

die Funktion lautet e hoch 2 mal x plus 4 

Lieben Dank für die schnelle Antwort

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@ysmnmjb

Ich habe bis jetzt geschrieben, dass es eine natürliche Exponentialfunktion ist ( hoffe das ist richtig ? )

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@ysmnmjb

ja, aber seid ihr beim ableiten oder integrieren?

das wäre wichtig :D

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@ysmnmjb

ja, aber seid ihr beim ableiten oder integrieren?

das wäre wichtig :D

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@oligovoer

Ach du meine Güte.. also Ableitung hatten wir gerade, ja. von integrieren habe ich noch nichts gehört. Das Thema war heute ( zum ersten Mal ) Exponentialfunktionen im erweiterten Sinne.

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@ysmnmjb

Ok, dann geh ich mal davon aus dass die Kettenregel zur Ableitung gemeint ist.

Also, wenn du eine Funktion hast, bei der die Abzuleitende Variable , also dein x, nicht allein steht, wie z.B. bei f(x)=4x, dann muss die Ketten regel angewendet werden. Dazu bildest du die Ableitung der äußeren und der inneren Funktion und multipliziertst sie miteinander.

Die äußere ist in deinem Fall e hoch irgendwas (blende das Hoch wirklich gedanklich aus). Die Ableitung von e hoch irgendwas ist immer e hoch irgendwas. Das ist mathematisch so festgelegt, egal was da oben steht. Also v(x)=e^(irgendwas) und v'(x)=e^(irgendwas).

Deine innere Funktion ist dann in dem Fall der Exponent selbst, also u(x)=2x+4. Die Ableitung davon ist realtiv klar denk ich u'(x)=2.

Die Ableitung deiner Funktion f ist also f'(x)=u'(x)*v'(x), also f'(x)=2*e^(2x+4).

Ein anderes Beispiel: 1:(3x+2). Die Funktion lässt sich auch so schreiben: (3x+2)^(-1).

Ihre Ableitung ist die Ableitung der inneren Funktion u(x)=3x+2, also u'(x)=3 und der äußeren Funktion, also v(x)=(irgendwas)^(-1), also v'(x)=-(irgendwas)^(-2).

Daraus folgt: f'(x)=-3*(3x+2)^(-2)=-3:(3x+2)^2

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

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@oligovoer

ja sehr Dankeschön ! ich habe mir das direkt ausgedruckt. allerdings ist mir ein Fehler unterlaufen, für mein Referat muss ich e hoch 2x plus 4 erklären.. wie geht es denn da ?  lieben dank 

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@ysmnmjb

super verständlich erklärt wirklich vielen dank!

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@ysmnmjb

na indem du wieder die innere und die äußere Funktion bildest.

äußere: u(x)=e^(irgendwas) + 4. Die Ableitung bildest du hier mit der Summenregel, also einfach die Ableitung von e^(irgendwas) plus die Ableitung von 4. u'(x)=e^(irgendwas)

innere: v(x)=2x, also v'(x)=2

Dann ergibt sich f'(x)=u'(x)*v'(x)=2*e^(2x)

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@oligovoer

vielen dank! das habe ich verstanden. und das ist auch die Kettenregel (also passend zum Referat)?

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@ysmnmjb

Ja, das ist Kettenregel. In Tafelwerken steht sie oft mit f'(x)=u'(x)*v'(x), wobei u'(x) die Ableitung der inneren, v'(x) die Ableitung der äußeren Funktion ist.

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@oligovoer

super habe wirklich vielen dank! wieso steht in der Antwort oben noch +4? 

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@ysmnmjb

da ich davon ausging das die plus 4 mit im exponenten steht, also auch hochgestellt ist.

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@ysmnmjb

aber wieso gehört die +4 dann nicht mit zur inneren Ableitung ?

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@ysmnmjb

dann gehört sie ja auch zur inneren Ableitung.

Deswegen schreib Exponenten am besten mit Klammern.

Meine Antwort war also schon richtig, ich habe sie nur abgeändert weil du geschrieben hast "muss ich e hoch 2x plus 4 erklären"

daher dachte ich ich habe dich falsch verstanden und es noch mal erklärt, für eine Funktion bei der das +4 hinter dem e-Teil steht :D

Hoffe Verwirrung ist beseitigt

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@oligovoer

ja Dankeschön. nur eine frage habe ich noch: die innere Ableitung ist dann 2 und die äußere e^(2x + 4 )?

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