Wie kann ich die Ableitung der e-Funktion erstellen?

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2 Antworten

f(x) = x ^ ( 1/(3x-1))

wegen x = e ^ ln(x)

f(x) = e ^ [ ln(x) / (3x-1) ]

Verkettung :

g(x) = ln(x) / (3x-1)

h(x) = e^x

f(x) = h ( g(x) )
f'(x) = h'( g(x) ) * g'(x)

h'(x) = e^x, also h'( g(x) ) = e ^ [ ln(x) / (3x-1) ]
g'(x) mit Quotientenregel bestimmen.

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Kommentar von surbahar53
20.11.2016, 14:11

Welches kranke Hirn hat sich diese Aufgabe ausgedacht ?

1

Du musst die Ableitung der Funktion "(3x -1)-ste Wurzel von x" bestimmen.

Die (....)-te Wurzel von x kannst du stets schreiben als x^(1/(...)), wie du es schon richtig gemacht hast.

f(x) = x^(1/(3x - 1)) ---> u(x) = x ----> v(x) = (1/(3x - 1))

Verallgemeinterte Potenzregel zu (Funktion mit x) hoch (Funktion mit x):

---> [u(x)^v(x)] ' = (u(x)^v(x)) * [ln(u(x)) * v(x)] '

Also:

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [ln(x) * (1/(3x - 1))] ' ---> das noch Abzuleitende zu einem Bruch verkürzen

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [(ln(x))/(3x - 1)] '

---> jetzt muss [ln(x)/(3x - 1)] abgeleitet werden

---> u(x) = ln(x) ---> u'(x) = 1/x

---> v(x) = (3x - 1) ---> v'(x) = 3

---> v(x)² = (3x - 1)²

---> Quotientenregel: u(x) / v(x) = (u'(x) * v(x) - v'(x) * u(x))/(v(x)²)

Also:

[ln(x)/(3x - 1)] ' = [((1/x)*(3x - 1)) - (3*ln(x))] / ((3x - 1)²)

[ln(x)/(3x - 1)] ' = [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] / ((3x - 1)²)

Das jetzt in f'(x) einfügen:

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] / ((3x - 1)²)

f'(x) = { (x^(1/(3x - 1)) * [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] } / ((3x - 1)²)

http://www.ableitungsrechner.net/#expr=x%5E%281%2F%283x%20-%201%29%29

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