Wie kann ich den Logarithmus ableiten?

...komplette Frage anzeigen Funktion - (Mathematik, Gymnasium)

2 Antworten

  Ich beziehe mich auf ===> Prof. Neunzert vom ===> Telekolleg. Du solltest mal ein Referat halten.

  Der ===> Hauptsatz besagt, dass Differenzial-und Integralrechnung ( " Auf-und Ableiten " ) Umkehrungen voneinander sind.

   Nach Neunzert ist der Logaritmus definiert als Aufleitung der Normalhyperbel:

                                                x

     F  (  x  )  =  ln  (  x  )  :=      $       1 / x    dx       (  1  )

                                                1

        Erste triviale Folgerungen.

    1) Wegen des Definitionsbereichs der Normalhyperbel ist auch der Logaritmus definiert für alle x > 0 .

    2  )       x  < =  >  1    ===>   ln  (  x  )  < =  >   0       (  2a  )

    insbesondere wollen wir uns merken

      ln  (  1  )  =  0       (  2b  )

   Wenn ( 1 )  wirklich identisch ist mit Logaritmus, dann müssen wir in der Lage srin, alle Formeln aus der Formelsammlung zu beweisen. Nur ein Beispiel

     ln  (  a  x  )  =  ln  (  a  )  +  ln  (  x  )      (  3  )

    Ich mache das jetzt äußerst Trick reich; ich intressiere mich für die Ableitung von

    f  (  x  ;  a  )  :=  ln  (  a  x  )      (  4a  )

    Wie gehen wir vor? Definition ( 1 ) + Kettenregel.

    f  '  (  x  )  =  a  *  ( 1 / a x )  =  1 / x    (  4b  )

   ( 1 ) und ( 4a ) haben demnach die selbe Ableitung und können sich nur um eine Integrationskonstante C unterscheiden:

     ln  (  a  x  )  =  ln  (  x  )  +  C     (  4c  )

   Wenn du jetzt in ( 4c ) setzt x = 1 , dann folgt mit ( 2b )

     C  =  ln  (  a  )      (  5  )

   Rücksubstitution von ( 5 ) in ( 4c ) führt auf die Behauptung. Ich finde ein lehrreiches StückA nalysis.

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Die Ableitung von ln(x) ist 1/x, und ln(b) ist eine Konstante.

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Kommentar von User48572
20.11.2016, 12:14

Danke. 

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