Wie kann ich das Verhalten einer ganzrationalen Funktion von x -> +/- œ bestimmen?

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2 Antworten

Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass das Verhalten ganzrationaler Funktionen f ( x ) für x -> + / - unendlich nur von der höchsten vorkommenden Potenz und dem Koeffizienten dieser Potenz abhängt.

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zu a) Es handelt sich um eine quadratische Funktion mit positivem Koeffizienten vor dem quadratischen Glied. Solche Funktionen haben als Graph eine nach oben geöffnete Parabel. Ihr Funktionswert geht somit sowohl für x -> - unendlich als auch für x -> + unendlich gegen + unendlich.

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zu b) Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit positivem Koeffizienten vor dem kubischen Glied. Solche Funktionen haben als Graph eine Kurve, die man auch "Parabel dritten Grades nennt". Ihr Funktionswert geht für x -> - unendlich gegen - unendlich und für x -> + unendlich gegen + unendlich.

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zu c) Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit negativem Koeffizienten vor der höchsten Potenz. Solche Funktionen haben als Graph eine Kurve, die einer nach unten geöffneten Parabel ähnlich sieht. Ihr Funktionswert geht somit sowohl für x -> - unendlich als auch für x -> + unendlich gegen - unendlich.

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zu d) Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit negativem Koeffizienten vor dem kubischen Glied. Solche Funktionen haben als Graph eine Kurve, die man auch "Parabel dritten Grades nennt". Wegen des negativen Faktors vor dem kubischen Glied verhält sich ihr Funktionswert genau andersherum, als bei der Funktion in Aufgabe b. Der Funktionswert geht also für x -> - unendlich gegen + unendlich und für x -> + unendlich gegen - unendlich.

ok, dankeschoen. um das ganze nochmal zu vereinfachen: ich muss im grunde nur wissen wo die funktion in welche richtung geöffnet ist? :D

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@casper

Zusammengefasst gilt:

a) Höchste vorkommende Potenz geradzahlig und

a1) Koeffizient dieser Potenz positiv, dann gilt

x -> + unendlich => f ( x ) -> + unendlich

x -> - unendlich => f ( x ) -> + unendlich

a2) Koeffizient dieser Potenz negativ, dann gilt

x -> + unendlich => f ( x ) -> - unendlich

x -> - unendlich => f ( x ) -> - unendlich

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b) Höchste vorkommende Potenz ungeradzahlig und

a1) Koeffizient dieser Potenz positiv, dann gilt

x -> + unendlich => f ( x ) -> + unendlich

x -> - unendlich => f ( x ) -> - unendlich

a2) Koeffizient dieser Potenz negativ, dann gilt

x -> + unendlich => f ( x ) -> - unendlich

x -> - unendlich => f ( x ) -> + unendlich

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Folge mal diesemLink zu WolframAlpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2+%2B+2+x+-+3

Dargestellt wird eine Funktion vom Typ a1)

Spiele nun oben in dem gelb umrandeten Kästchen ein wenig mit der höchsten Potenz bzw. mit dem Vorzeichen ihres Koeffizienten herum und du wirst sehen, wie sich der Funktionsgraph entsprechend obiger Zusammenfassung verändert.

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Danke für das Sternchen.

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Ganz-rationale Funktionen sind Polynome. Die konvergieren für x gegen + oder - unendlich immer gegen + unendlich oder - unendlich.

Du mußt nur untersuchen, ob sie in diesem Bereich monoton wachsen (steigen) oder monoton fallen. Dann hast Du's schon.

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