Wie kann ich bei dem Determinant erkennen, ohne es zu berechnen, ob dieser gleich null ist?

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3 Antworten

Also sei die Matrix:

A = {{-2, 3, -1}, {6, 1, 1},{7, 2, 1}}

gegeben.

Es folgt detA = 0  falls die Zeilen oder Spalten linear abhängig sind.

Seien v1, v2, v3 die 3 Spalten- oder Zeilenvektoren, sie sind linear abhängig falls die Konstanten k1, k2 und k3 aus IR existieren, so dass gilt:

k1*v1 + k2*v2 + k3*v3 = 0

wobei mindestens 2 der Konstanten ungleich 0 sein müssen.

Oder einfach gesagt, wen du mit dem Gaußalgorithmus eine "Nullerzeile" erzeugen kannst.


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Kommentar von rumar
14.10.2016, 21:01

Ohne Gauß, sondern mit ein wenig rumspielen, habe ich eine Lösung gefunden:   (k1, k2, k3)  =  (1 , 5 , -4)

(siehe meine Antwort !)

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Wenn irgendwelche Zeilen/Spalten vielfache voneinander sind oder du Nullzeilen/spalten hast, ist die Determinante null. Sonst gibt´s eigentlich keine einfachen Möglichkeiten das zu sehen.

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Kommentar von triforce2
14.10.2016, 20:47

Also kann man das an diesem Beispiel nicht sehen? :)

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Wenn man mit den Zeilen ein wenig rumspielt (ich brauchte dazu etwa 4 Minuten), findet man:

1. + 2. Zeile:     4   4   0

3. - 2. Zeile:      1   1   0

Daraus ergibt sich schon, dass man auf einfache, aber nicht-triviale Weise aus den 3 Zeilenvektoren den Nullvektor linear kombinieren kann. Folglich muss die Determinante verschwinden (also den Wert 0 haben) !

Die Kombination, die den Nullvektor ergibt, ist dann:

(1) + 5 * (2) - 4 * (3)

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