Wie kann ich a^n*a-b^n*b vereinfachen?

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4 Antworten

Also ich wird sagen:
Wenn etwas mal gerechnet wird dann sitzt die Zeit einfach zusammen zum Beispiel NA oder anstatt den Variablen setzt du Zahlen ein Das wär sehr leicht und dann kannst du alles ausrechnen

Wenn du (a–b) als Faktor ausklammern willst, so gilt:

aⁿ⁺¹–bⁿ⁺¹ = (a–b)·∑aʲbᵏ
Summe über alle j,k≥0 mit j+k=n

Die Herleitung ist wie folgt. Falls a≠0 und a≠b, so gilt

aⁿ⁺¹–bⁿ⁺¹ = aⁿ⁺¹·(1–(b/a)ⁿ⁺¹)
Teilen erlaubt, da a≠0
= aⁿ⁺¹·(1–(b/a))· (1–(b/a)ⁿ⁺¹) / (1–(b/a))
Teilen erlaubt, da 1 - b/a ≠ 0, da a≠b
= aⁿ⁺¹·(1–(b/a))· ∑(b/a)ᵏ
Summe über k von 0 bis n
(geometrische Reihe)
= aⁿ·(a–b)· ∑(b/a)ᵏ von k=0 bis n
= (a–b)·∑aⁿ˜ᵏ·bᵏ von k=0 bis n
= (a–b)·∑aʲ·bᵏ über j,k≥0 mit j+k=n

Falls a=0, so gilt RHS = (0–b)·bⁿ = -bⁿ⁺¹ = 0ⁿ⁺¹–bⁿ⁺¹ = LHS.
Falls a=b, so gilt RHS = (b–b)·∑bʲ·bᵏ = 0 = bⁿ⁺¹–bⁿ⁺¹ = LHS.

Darum gilt diese Gleichung für alle a, b.                                                        ⊣

(a^n * a) - (b^n * b) = a^(n+1) - b^(n+1)

a*a = a²
a²*a= a³
...
a^n*a=a^(n+1)

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