Wie kann eine Menge abzählbar unendlich sein?

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4 Antworten

Das ist nur die halbe Wahrheit. Wenn das die einzige Begründung wäre, bräuchte man sich keinen extra Ausdruck dafür einfallen zu lassen. Übrigens würden bei dieser Begründung wenigstens noch die ganzen Zahlen dazuzählen.

Nicht nur natürliche und ganze, sondern auch gebrochene Zahlen gelten als "abzählbar unendlich". Man kann sich einen Algorithmus einfallen lassen, mit dem man nach x Schritten auf jeden Fall eine bestimmte gebrochene Zahl erfassen kann, also sind sie abzählbar.

Das geht bei irrationalen Zahlen nicht. Sie sind unendlich dicht. Deshalb sind irrationale Zahlen nicht abzählbar unendlich.

Naja, Du kannst jedem Element Deiner Menge eine natürliche Zahl zuordnen. Also alle Elemente durchzählen. Brauchst halt etwas länger bei undlichen Mengen. Nicht weiter drüber nachdenken, Du hast es schon verstanden.

Na, die Menge der unendlichen Zahlen ist ja auch unendlich.

Laut Definition ist eine Menge abzählbar unendlich wenn du eine Bijektion zwischen natürlichen zahlen und Zielmenge angeben kannst.

heißt im Klartext:
Wenn du etwas angeben kannst wie f(n)=n^3
wobei die Definitionsmenge zwingend gleich den natürlichen Zahlen ist und die Wertemenge zwingend gleich der zu betrachtenden menge sein muss.

z.B.

G={1,5,9,13,...}

Dann ist deine Funktion

f(x)=1+4*x

(Wenn man es genau nimmt, kommt es hier nun drauf an ob dein Lehrer/Professor sagt ob die 0 in den natürlichen  Zahlen dabei ist oder nicht)

Jedenfalls kommt jede natürliche Zahl als x Wert in Frage und jeder denkbare f(x) Wert ist kommt in G vor.

Überabzählbar ist dann Alles wo das nicht möglich ist.
z.B. H={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}

Wie man sich leicht denken kann, muss eine Menge die gleiche Mächtigkeit haben wie die natürlichen  Zahlen (oder weniger) um überhaupt abzählbar sein zu können.

Was hier nicht der Fall ist, da H 4 Zahlen mehr hat als es natürliche Zahlen gibt.

eine Menge abzählbar

Abzählbar unendlich meinst du hier. Oft wird das "unendlich" einfach weggelassen, und nur "abzählbar" gesagt, wenn klar ist, worum es geht.

Menge M die die gleiche Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen hat.

Äh, naja, das nennt man dann eben abzählbar unendlich, wenn eine Menge die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen. Das ist nur eine Bezeichnung. Und dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, das ist dir doch klar, oder?

Ein einfaches Beispiel wäre, dass die Menge der geraden Zahlen gleichmächtig ist zur Menge der natürlichen Zahlen:

  2   1
  4   2
  6   3
  8   4
 10   5
 12   6
...

Man sieht auch ohne formalen Beweis, dass man die geraden Zahlen ein-zu-eins den natürlichen Zahlen zuordnen kann. Also ist die Menge der geraden Zahlen abzählbar unendlich (gleiche Machtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen)

DietmarBakel 26.10.2012, 18:44

Respekt - das ist wirklich der Moment, wo ich mit dem Sniffen aufhören sollte.

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