Wie groß war der Durchmesser vorher?

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7 Antworten

Hallo,

dazu mußt Du die Formel für die Kreisfläche kennen:

Sie lautet F (die Kreisfläche) =π*r² (r ist der Radius).

Du weißt, daß sich die Fläche des Kreises mit dem gesuchten Radius 
um 1963,5 cm² steigt, wenn der Radius um 10 cm erhöht wird.

Das bedeutet, π*(r+10)²=π*r²+1963,5

Diese Gleichung mußt Du nun nach r auflösen. Dazu rechnest Du zunächst die Klammer aus (erste binomische Formel):

π*(r²+20r+100)=π*r²+1963,5 ⇔

π*r²+20π*r+100π=π*r²+1963,5

Die beiden Produkte π*r² stehen auf beiden Seiten der Gleichung und heben sich auf:

20π*r+100π=1963,5

Nun kommen die 100π nach rechts:

20π*r=1963,5-100π

Jetzt noch beide Seiten durch 20π teilen:

r=(1963,5-100π)/20π

Den Rest macht der Taschenrechner. <r=26,25>

Herzliche Grüße,

Willy

Danke für das Kompliment. Willy

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alter Inhalt (enthält kreisformel mit r) + 1963,5 = neuer Inhalt (enthält kreisformel mit r+10)

ergibt quadratische Gleichung, die du nach r auflösen musst.

Die Kreisfläche A(r) = Pi * r^2
Einmal nach r ableiten: dA/dr = Pi * 2 * r
Gegeben sind dA und dr - also nur noch einsetzen, dann kommst Du auf r.

Meist bekommt man diese Aufgabe, wenn man gerade quadratische Gleichungen durchgenommen hat. Dann kennt man noch keine Ableitung. Die Idee ist aber bestechend einfach.

Allerdings krieg ich's nicht hin, wo ist der Fehler?

dA/dr = 1963,5/10 = Pi * 2 * r
also r = 31,25

aber:
31,25² * Pi = 3067,96
21,25² * Pi = 1418,63
41,25² * Pi = 5345,61

Irgendwie stimmt die Differenz der Kreisflächen weder bei r+10 noch bei r-10. Was hat man denn da eigentlich ausgerechnet?
Die richtige Lösung ist r=26,25.
Aha, dann liegt das mit der Ableitungsmethode errechnete r also genau in der Mitte zwischen r und r+10.

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Kreisfläche: A = Pi * r^2

Jetzt weißt du, dass wenn der Radius um 10cm gewachsen ist, der Flächeninhalt 1963,5 cm^2 ist, also

1963,5 cm^2 = Pi (r+10cm)^2

Jetzt musst du nur noch die Gleichung umformen und ausrechnen...

Der Flächeninhalt steigt um 1963,5 cm²

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Der Flächeninhalt ist nicht 1963,5 cm^2, sondern er ist um 1963,5 cm^2 gewachsen. D.h. Du müsstest auf der rechten Seite nochmal Pi * r^2 abziehen. 

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Falscher Ansatz, dein Lösungsvorschlag stimmt nicht.

Probe zu meiner obigen Rechnung:

Pi * ( 36,25 cm )^2 - Pi * ( 26,25 cm )^2 = 1963,5 cm^2

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Fläche der Kreises vorher: A1 = Pi*r1^2

Fläche des Kreises nachher: A2 = Pi*r2^2

Veränderung der Fläche: A = A2 - A1

Vergrößerung des Radiuses: d = r2 - r1

Einsetzen von A2 und A1 in die Formel von A ergibt: A = Pi*r2^2 - Pi*r1^2

Ausklammern von Pi: A = Pi*(r2^2 - r1^2)

Umstellen von d nach r2: r2 = r1 + d.

Einsetzen von r2 in die Formel von A: A = Pi*( (r1 + d)^2 - r1^2 )

Auflösen des Binomes ( r1 + d )^2: A = Pi * ( r1^2+2*d*r1 + d^2 - r1^2 ) , dann hebt sich r1^2 auf, also vereinfacht:

A = Pi * ( 2*d*r1 + d^2 ), wir rechnen durch Pi

A / Pi = 2*d*r1 + d^2 , subtrahieren d^2

A / Pi - d^2 = 2*d*r1 , teilen durch 2*d

( A / Pi - d^2 ) / ( 2*d ) = r1

Einsetzen der Werte ergibt:

r1 = ( 1963,5 cm^2 / Pi - (10 cm)^2 ) / ( 2 * 10 cm )

Dann ist der ursprüngliche Radius r1 = 26,25 cm

Du musst das ganze zuerst in einer Gleichung darstellen:

 (r+10)^2Pi= A+1963.5

Dann musst du das ganze nach r auflösen.

MFG

π (r + 10)² = π r² + A → (r + 10)² = r² + A/π → r² + 20r + 100 = r² + A/π →

20r = A/π ‒ 100 → r = ...

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