Wie groß sind die Innenwinkel des Vierecks ABCD?

4 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

die Winkel bei A,B,C und D haben die Größen 60°, 75°, 150° und 75°

AB=AC=BD=x

Aufgrund der Symmetrie treffen die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander. Außerdem wird Diagonale BD durch die Diagonale AC halbiert. Dreieck ABCD ist ein Drachenviereck.

Schnittpunkt der Diagonalen sei S

Den Winkel DBC=Alpha/2 kannst Du nun über den Sinussatz bestimmen, da Winkel ASB ein rechter Winkel ist und AB=x gegenüberliegt.

Es gilt:

sin(90)/x=sin(Alpha/2)/x/2

Da sin(90)=1:

1/x=sin(Alpha/2)/x/2

sin(Alpha/2)=1/2

Einem Sinus von 1/2 entspricht ein Winkel von 30°.

Da dies Alpha/2 ist, muß der Winkel Alpha bei A 60° haben.

Da das Dreieck ABC gleichschenklig ist mit der Spitze bei A und der Winkel BAC=30°, haben die beiden Basiswinkel jeweils (180-30)/2=75°

Winkel Beta bei B hat also 75°, was wgen der Symmetrie auch für Winkel Delta bei D gilt.

Der Winkel bei C beträgt 150°, was entweder dadurch herzuleiten ist, daß er doppelt so groß ist wie Winkel BCA, denn AC ist die Winkelhalbierende; oder über die Tatsache, daß sich die Innenwinkel eines Vierecks zu 360° ergänzen:

360-(60+75+75)=360-210=150

Herzliche Grüße,

Willy

Natürlich sind die Diagonalen gleich lang, ansonsten ließe sich der Winkel bei A nicht auf diese Art bestimmen.

Voraussetzung dafür ist, daß SB=x/2 und somit BD=AC=AB=x

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Hallo zus, meine Tochter hat die gleiche Aufgabe und wir blicken da leider auch nicht durch. Danke dem Willy für die tolle Antwort, aber Sinussatz haben die im 7. Schuljahr doch noch gar nicht. Geht es nicht evtl. etwas einfacher zu erklären, halt 7-Schuljahr-Niveau ?

Und noch zu der Antwort von schlaubi; es geht doch nicht darum, sich nur das Ergebnis vorgeben zu lassen, sondern darum, dass man es verstehen und gemeinsam lernen möchte. Im Mathetrainer haben wir leider keine vergleichbare Aufgabe gefunden. Im übrigen ist der Sinn dieser Internetseite nicht, die Fragen anderer zu kritisieren und andere zu belehren, sondern entweder kann und möchte man bei der Beantwortung der Frage helfen, oder man läßt es halt bleiben.

Es geht auch noch anders:

Da AC=BD, kannst Du das gesuchte Viereck einem Quadrat einschreiben.

Punkt A halbiert die untere Seite dieses Quadrats.

Da AB=AC und AC die gleiche Länge besitzt wie die Grundseite des Quadrats, in das dieses Viereck einbeschrieben ist, kannst Du
ein rechtwinkliges Dreieck AEB berechnen (E ist der Punkt rechts unten beim Quadrat).

Nenne die Grundseite des Quadrates a.

a=AB=AC=BD

Das rechtwinklige Dreieck hat die Seite AE=a/2 als Kathete und die Seite AB=a als Hypotenuse.

Dann gilt für die Strecke EB:

(EB)²=a²-(a/2)²=(3/4)a²

EB=Wurzel ((3/4)a²)=(1/2)a*Wurzel (3)

Winkel EAB läßt sich nun über den Arkustangens berechnen.

EAB=arctan [(1/2)a*Wurzel(3)]/(a/2)=arctan (Wurzel (3))=60°

Wegen der Symmetrie ist auch der andere Winkel, der außen an der Seite AD anliegt, 60°.

Damit muß auch der Winkel BAD 60° sein, weil alle drei zusammen den gestreckten Winkel auf der unteren Seite des Quadrates von 180° ergeben.

Dieser Winekl wird durch die Diagonale AC, die gleichzeitig Symmetrieachse ist, halbiert zu zwei Winkeln von je 30°.

Dieser Winkel von 30° ist der Winkel zwischen den beiden gleich langen Seiten AB und AC, die das Dreieck ABC bilden mit den gleich großen Basiswinkeln ABC und ACB.

Diese beiden ergänzen den Winkel von 30° zu 180°, haben zusammen demnach 150°, einzeln je 75°.

Wir haben nun vom gesuchten Viereck den Winkel DAB=60° und den Winkel ABC=75°.

Wegen der Symmetrie muß dann auch der Winkel ADC 75° haben.

Da sich alle vier Winkel eines Vierecks zu 360° ergänzen, bleibt für den Winkel DCB noch 360°-(60°+2*75°)=150°

Willy

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Du hilfst doch Deiner Tochter nicht, wenn Du Dir die Lösungen von anderen vorgeben lässt nur damit sie weiter kommt...

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Der eine Kreis berührt die Strecken AB und BC und die Diagonale, der andere Kreis die Strecken CD und AD und die Diagonale.

Der Abstand vom Mittelpunkt M des Kreises ,der AB und BC berührt, zu CD wird als unbekannte Länge x angegeben.

Der Abstand des anderen Kreises als y.

Wir wissen also das BC=x+r sind und CD=y+r. r=Radius

Ich hoffe bis hier hin ist alles klar. Nun zur Aufgabe.

Jeder der beiden gleichgroßen Kreise berührt sowohl zwei Seiten des Rechtecks ABCD wie auch die Rechtecksdiagonale [AC]. Finde heraus, wie viel Prozent der Rechecksfläche die beiden Kreisflächen zusammen einnehmen.

Wissen will ich eigentlich nur wie man den Radius r eines Kreises berechnen kann.

Ich würde es sehr begrüßen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Danke schon mal im Voraus!

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