Wie Gleichungen mit komplexen Zahlen lösen?

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2 Antworten

Zunächst einmal ist z einfach erst mal eine Variable, und mit der solltest Du einfach so verfahren wie im Reellen, und i ist einfach eine Zahl, dass ihr Quadrat gleich –1 ist, spielt eine untergeordnete Rolle. Aufdröseln kannst Du es immer noch.

Dein Beispiel z² = 1 führt einfach zu z = 1 oder z = –1, denn das sind die einzigen Komplexen Zahlen mit diesen Eigenschaften. In Polardarstellung ist e^(n·iπ) = 1 für gerades und = –1 für ungerades n, und so stellt

e^(n·iπ)·e^(n·iπ) = e^(n·2πi)

sowohl 1·1 = 1 als auch (–1)(–1) = 1 dar.

Dein anderes Beispiel

    3(z – i) – 1/i = 2 – iz
⇔ 3z – 3i – 1/i = 2 – iz
⇔ (3 + i)z = 3i + 1/i + 2 = 3i – i + 2 = 2i + 2                     | 1/i = –i
⇔ z = (2i + 2)/(3 + i)                                                         | Erweitern mit (3 – i)
⇔ z = (2i + 2)(3 – i)/10 = (4 + 4i)/10 = (2 + 2i)/5

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MIt PQ kannst du es machen.Du wirst irgendwann zum Punkt kommen, wo du so etwas in der Art stehen hast:

z12=....+- sqrt(a*i)Du musst also die Wurzel aus der Zahl i und einer Reelen Konstante a ziehen. Das machst du wie folgt:

sqrt(a*i)=sqrt(a)*sqrt(i) Die Wurzel aus einer imaginären Zahl ist ebenfalls eine imaginäre Zahl -> sqrt(i)=a+b*i

Jetzt quadrieren:

i=a^2-b^2+2*a*b*i, da auf der linken Seite nur i steht, sprich nur der Imaginär-Teil einer Komplexen Zahl, folgt daraus, dass alle Reel-Teile verschwinden -> a^2-b^2=0

Und daraus folgt dann:

i=2*a*b*i -> a*b=1/2

Aus diesen beiden Gleichungen, kannst du dann a und b bestimmen.Dann musst du nur noch den Audruck, den du für sqrt(i) gefunden hast in z1 und z2 einsetzten.

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