Wie funktioniert Polynomdivison?

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3 Antworten

Im dtv-Atlas zur Mathematik Band 1 ist ein Beispiel drin -->

x ^ 4 + 2 * x ^ 3 + x + 1 soll durch x ^ 2 - 1 geteilt werden.

x ^ 4 + 2 * x ^ 3 + x + 1 = Zählerpolynom

x ^ 2 - 1 = Nennerpolynom

Man sortiert sich diese Polynome am besten so, dass die Terme mit den größten Exponenten zuerst kommen und die Terme mit den kleinsten Exponenten am Schluss, falls sich noch nicht sortiert sind.

Beim Nennenrpolynom interessiert beim dividieren erst mal nur der Term mit dem höchsten Exponenten, also der Term x ^ 2

x ^ 4 / x ^ 2 = x ^ 2

Nun rechnet man - x ^ 2 * (x ^ 2 - 1), das ist - x ^ 4 + x ^ 2

Dass addiert man nun mit x ^ 4 + 2 * x ^ 3 + x + 1 und erhält 2 * x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1

Nun teilt man wieder 2 * x ^ 3 / x ^ 2, das ist 2 * x

Nun rechnet man -2 * x * (x ^ 2 - 1), das ist -2 * x ^ 3 + 2 * x

Dass addiert man nun mit 2 * x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 und erhält x ^ 2 + 3 * x + 1

Nun teilt man wieder x ^ 2 / x ^ 2, das ist 1

Nun rechnet man -1 * (x ^ 2 - 1), das ist  -x ^ 2 + 1

Dass addiert man nun mit x ^ 2 + 3 * x + 1 und erhält 3 * x + 2

Der Exponent von 3 * x ist als Exponent kleiner als x ^ 2, deshalb endet die Polynomdivision nun.

Die Terme die ich fett markiert habe, die addiert man nun -->

x  ^ 2 + 2 * x + 1

als Rest haben wir 3 * x + 2 übrig behalten weshalb das Endergebnis nun lautet -->

x ^ 2 + 2 * x + 1 + (3 * x) / (x ^ 2 - 1)

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