Wie funktioniert diese Umformung?

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5 Antworten

Hallo,

wenn Du die Summe ausschreibst, bekommst Du:

sn=200*x^(1-1)+200*x^(2-1)+...+200*x^(t-1)=200x^0+200x^1+...+200x^(t-1)

Wenn Du das mit x multiplizierst bekommst Du:

x*sn=200x^1+...+200x^(t-1)+200x^t

Die Zwischenglieder bis auf das 200x^0 und 200x^t sind alle identisch.

Wenn Du sn von x*sn abziehst:

x*sn-sn=200x^t-200x^0

bleiben nur diese beiden Terme übrig. x^0=1, also 200*x^0=200, außerdem kannst Du die 200 ausklammern (rechte Seite) und sn (linke Seite):

sn*(x-1)=200*(x^t-1)

Nur noch durch (x-1) teilen:

sn=[200*(x^t-1)]/(x-1)

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von ProfFrink
07.07.2017, 19:15

Aber er will doch die ganze Summe bis t=unendlich und hat doch schon das Ergebnis 200/(1-x) richtig in der Frage ausgeschrieben. In Deinem Ergebnis ist ja immer noch ein t vorhanden.

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Du kannst eine Indexverschiebung machen, sodass die Summe bei 0 beginnt und über 200*x^t summiert wird. Wenn du nun die 200 ausklammerst, siehst du, dass es sich um die geometrische Reihe handelt.

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Das nennt man in der Mathematik "geometrische Reihe". Es gilt

Summe[t=0...unendlich] (C * x^t) = C /(1-x), für |x| < 1.

In Deinem Beispiel ist C = 200 und weil von der Potenz t eins abgezogen wird (t-1) beginnt die Summe nicht bei t=0 sondern bei t = 1.

Bitte beachten: diese Gleichung ist nur für |x| < 1 richtig.

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Kommentar von patte35
07.07.2017, 09:29

Vielen Dank für die Antwort! Leider verstehe ich noch nicht, wie daraus 200/(1-x) wird. Könntest du mir das nochmal erklären?

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Du versteht es am besten, wenn Du die Summe einmal ausschreibst. Siehe Bild.

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Kommentar von patte35
07.07.2017, 09:43

Vielen Dank! Wie wird denn dann aus 200*x^t die Gleichung 200/1-x?

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Stell doch mal bitte deine Frage vollständig. Ansonsten :

200 * x^(t-1) = 200 / x^(-1 * (t-1)) = 200 / x^(1-t) und  logarithmieren.

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