Wie findet man die Lösung einer Differentialgleichung, wenn nur drei Anfangsbedingungen gegeben sind?

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2 Antworten

Weißt du, was das charakteristische Polynom einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist? Wähle den Ansatz y(x) = c e^(ax) mit Koeffizienten c und a (dieser Ansatz ist unter der Annahme, dass die Funktion analytisch ist, durchaus berechtigt), dann bekommst du durch mehrmaliges Ableiten immer nur Potenzen von a in den Koeffizienten. Ausmultiplizieren ergibt, dass die Koeffizienten die Gleichung a² + 4 = 0 erfüllen müssen [bemerke: das sind genau die Koeffizienten deiner Gleichung y'' + 4y = 0, das sind sie nämlich immer, genau das ist das charakteristische Polynom!].

Einfache Gleichung mit einfacher Lösung, a1 = -2i, a2 = 2i, deine Funktion ist also von der Form y(x) = a e^(-2ix) + b e^(2ix), soweit so gut. Wir berechnen y(0), das Ergibt einfach nur y(0) = a + b, soll aber gerade 1 ergeben, also a + b = 1 wissen wir für unsere Koeffizienten. Einmaliges Ableiten ergibt y'(0) = 2i(a-b), soll gerade 0 sein, also muss a = b gelten. Das Gleichungssystem a + b = 1, a = b hat die sehr einfache Lösung a = 1/2, b = 1/2, also ist unsere Lösung:

y(x) = 1/2(e^(2ix) + e^(-2ix)). Unsere Komplex-Ana-Kenntnisse [du kannst es einfach mittels der Eulerformel ausrechnen, hier hilft Wikipedia] sagen uns aber, dass 1/2(e^(i z) + e^(-iz)) = cos(z), also folgt y(x) = cos(2x).

LG

Die erste Zeile ist nicht die Anfangsbedingung, sondern die DGL selber!
Die DGL ist 2ter Ordnung, es fehlen also in Deiner Lösung zwei Integrationskonstanten. Mit etwas Nachdenken kommt man drauf, dass die allgemeine Lösung y=A*cos(2x+B) ist.

Äquivalent ist die Darstellung y=C*sin2x + D*cos2x
Die Werte von A und B  (bzw. C und D) kannst Du dann durch Einsetzen ermitteln.

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