Wie finde ich heraus ob zwei Mengen Aufgaben äquivalent sind?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Behauptung. Seien A, B Mengen. Dann gilt B⊆A ⟺ A∪B=A.

Beweis. (⟹-Richtung.) Angenommen, B⊆A. Dann gilt:

______________________________
| Sei x ein beliebiges Objekt.
| ________________________________________
| | x∈A∪B ⟺ x∈A oder x∈B (Defn. von ∪)
| | ⟹ x∈A oder x∈A,
| | da ∀y∈B: y∈A, per Defn von B⊆A.
| | ⟹ x∈A
| | ⟹ x∈A oder x∈B
| | ⟺ x∈A∪B.
| ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
| Also, x∈A∪B ⟹ x∈A ⟹ x∈A∪B
| Also, x∈A∪B ⟺ x∈A.
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Darum ∀x: x∈A∪B ⟺ x∈A.
Also (per Extensionalität) A∪B=A.

(⟸-Richtung.) Angenommen, A∪B=A. Dann gilt:

___________________
| Sei x∈B beliebig.
| ⟹ x∈B oder x∈A
| ⟹ x∈A∪B (Defn. von ∪)
| ⟹ x∈A da A∪B=A.
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Darum ∀x∈B: x∈A.
Per Definition gilt also B⊆A.

                                                                                                                      QED.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Thesulit
27.10.2016, 15:59

Dankeschön für diese Ausführliche Antwort!
Kannst du mir vielleicht noch in Worten erklären was du da genau gemacht hast und warum das der Beweis ist? :/

0

Du zeigst, dass beide Aussagen die jeweils andere Implizieren.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Thesulit
27.10.2016, 14:59

und wie mach ich das?
Ich bin im ersten Semester Informatik und wir werden mit der Aufgabe konfrontiert und 99% von uns haben keine Ahnung

0

Was möchtest Du wissen?