Wie finde ich heraus ob eine Funktion Achsensymetrisch oder Punktsymetrisch ist?

3 Antworten

Hallo,

diese Funktion ist weder achsensymmetrisch zur x-Achse (dann dürfte sie nur gerade Exponenten haben), noch punktsymmetrisch zum Ursprung (dann dürfte sie nur ungerade Exponenten haben).

Das bedeutet aber nicht, daß sie überhaupt keine Symmetrie besitzt.

Wenn, kann es sich nur um eine Punktsymmetrie handeln, weil eine Funktion dritten Grades nicht achsensymmetrisch sein kann.

Der Punkt, in bezug zu dem die Funktion symmetrisch ist, kann nur der Sattelpunkt oder Wendepunkt sein.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung Null ist und die erste ungleich Null; ein Sattelpunkt, wenn beide Ableitungen Null sind.

f(x)=2-3x³

f'(x)=-9x²

f''(x)=-18x

Die Ableitungen werden beide bei x=0 Null, hier liegt also ein Sattelpunkt und ein mögliches Symmetriezentrum vor.

f(0)=2

Es ist also zu untersuchen, ob die Funktion bezüglich zum Punkt (0|2) symmetrisch ist.

Für ein beliebiges x0 muß sich ein Funktionswert ergeben, der genauso weit von der 2 entfernt ist wie der Funktionswert von -x0.

Es muß also gelten: f(x0)-2=2-f(-x0)

2-3*(x0)³-2=2-(2-3*(-x0)³)=2-2+3*(-x0)³

Nach Auflösung der Klammern und Zusammenfassung der Summanden ergibt sich:

-3*(x0)³=-3*(x0)³

Es stimmt also.

Zur Probe kannst Du die Sache für x0=1 und x0=2 berechnen.

f(1)-2=2-3-2=-3

2-(f(-1))=2-(2-3*(-1)³)=2-2-3=-3

f(2)-2=2-24-2=-24

2-f(-2)=2-(2-3*(-2)³)=2-2+3*(-2)³=-24

Es liegt also eine Punktsymmetrie zum Punkt (0|2) vor.

Herzliche Grüße,

Willy

Übrigens: Jede Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Wende-/ Sattelpunktes. (Habe ich gerade gelesen).

Willy

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Ich habe mir angewöhnt, die Bedingungen so aufzuschreiben:
PS: f(-x) = -f(x)
AS: f(-x) = f(x)

Das hat den Vorteil, dass beide Gleichungen mit f(-x) beginnen.

Also: f(-x) bilden, indem Du in den Funktionsterm von f statt des x ein (-x) einsetzt (Klammern sind wichtig!), das Ganze so weit wie möglich ausrechnen/vereinfachen und zum Schluss vergleichen: ist das Ergebnis identisch mit dem Originalterm, liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor; ist das Ergebnis genau das Negative vom Orignalterm, liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Ansonsten liegt keine dieser beiden (Standard)Symmetrien vor.

Diese Vorgehensweise klappt übrigens bei jeder Funktion, nicht nur bei gnazrationalen Funktionen.
Wenn ein Nachweis gefragt ist, musst Du immer diesen Weg gehen.

Es ist so, dass eine Funktion achsensymetrisch ist, wenn alle Exponenten gerade sind. Punktsymetrisch ist eine Funktion, wenn alle Exponenten ungerade sind.

Ehrlich gesagt kenne ich dise Formel nicht, aber sie besagt ja, dass f(x) genau das Gleiche wie -f(-x) ist. Also, wenn ein Punkt bei (1/1) liegt, muss ein anderer bei (-1/-1) liegen... f(1)=1 und f(-1)=-1... D.h die Vorzeichen der Punkte verändern sich!:)

LG Bambusbrot

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