Wie finde ich die Koordinaten des Scheitelpunktes raus?

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9 Antworten

Hallo SchauHinterDich! :)

Es gibt mehr als einen Weg, aber nur einer ist absoluter Standard und die anderen habe ich auch noch nie verwendet.

Du formst alle Funktionen, die hier auch alle in der Normalform (NF) stehen, in die Scheitelpunktform (SPF) um.

Dafür benötigst du die quadratische Ergänzung und das ist auch etwas komplizierter und nicht so einfach zu lösen.

Hier hast einmal die komplette Rechnung anhand eines (anderen) Beispiels.

Vorher verlinke ich dir aber noch ein Video, das du dir am aller besten noch vor meiner Erklärung anschaust, oder eben doch nachher. Ich kann sie dir nur ans Herz legen. Damit verstehst du das definitiv noch bessert!

Hier ein Video zur quadratischen Ergänzung von TheSimpleMaths:

Machen wir das Beispiel mit folgender Funktion:

f(x) = 4x² + 2x + 1

Diese Funktion steht in der Normalform und ist eine quadratische Funktion.

Um diese nun in die Scheitelpunktform zu bringen, um z.B. die Transformation ablesen zu können, also die Verschiebung nach oben und unten, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.

Das ist der häufigste Anwendungsbereich der quadratischen Ergänzung. Du kannst sie aber auch nutzen, um Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, was man aber fast nie macht und du selten benötigst, weil man dazu immer andere Verfahren zur Verfügung hat.

Ich rechne dir nun einmal vor, wie du die Scheitelpunktform bildest:

● ● ● Schritt 1: Den Vorfaktor a ausklammern ● ● ●

f(x) = 4x² + 2x + 1

Der Vorfaktor ist hier 4. Die +1 werden nicht mit ausgeklammert und bleiben draußen. Der Vorfaktor a ist der Stauch- und Streckfaktor und ist in der Normalform und Scheitelpunktform der selbe. 

Der Vorfaktor a = 4 heißt hier, dass die Parabel nach oben geöffnet und entlang der y-Achse gestreckt ist. 

f(x) = 4 (x² + 0,5x) + 1

● ● ● Schritt 2: Quadratische Ergänzung bilden ● ● ●

Nun halbierst du die Zahl mit dem x (nicht x²) in der Klammer. Dieser halbierte Wert wird dann quadriert und direkt wieder genau so halbiert und quadriert wieder abgezogen, also subtrahiert. Das x wird dabei nicht mitgenommen, die Zahl mit der Variable x selbst bleibt stehen. Kompliziert zu schreiben, schau dir einfach die Rechnung erstmal an:

f(x) = 4(x² + 0,5x) + 1

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25² - 0,25²) + 1

Du siehst hoffentlich, was passiert. Wie gesagt: Du halbierst die 0,5, teilst sie also durch 2 (0,5:2 = 0,25). Diesen Wert quadrierst du dann und ziehst diesen Wert auch direkt inkl. dem Quadrat wieder ab.

● ● ● Schritt 3: Das "Abgezogene" aus der Klammer multiplizieren● ● ●

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25² - 0,25²) + 1

Das, was also fett gedruckt ist, muss aus der Klammer raus. Dazu multiplizieren wir es aus, also multiplizieren den Wert mit der Zahl vor der Klammer.

Wie du richtig ausmultiplizierst, kannst du in diesem Video sehen:

So machst du hier nun richtig weiter:

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25² - 0,25²) + 1

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25²) + 1 + 4*(-0,25²)

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25²) + 1 -0,25

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25²) + 0,75

Wichtig

Das Quadrat muss in die Klammer und somit wird das Minus nicht mitquadriert.

(-5)² = 25

(-5²) = -25

Da liegt der Unterschied! :)

● ● ● Schritt 4: Binomische Formel "rückwärts" anwenden ● ● ●

Nun musst du aus dem Term in der Klammer die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden. Deshalb habe ich das Quadrat auch noch nicht aufgelöst, denn damit kannst du die Zahlen quasi schon kopieren.

Die 3. binomische Formel kann dabei nicht entstehen! Du musst also nur darauf achten, ob du immer + oder auch ein - hast. Hast du nur +, muss es die 1. binomische Formel sein. Hast du auch -, kann es nur die 2. binomische Formel sein! Hier ist es deswegen die 1. binomische Formel, weil wir nur + in der Klammer haben!

f(x) = 4(x² + 0,5x + 0,25²) + 0,75

►►► f(x) = 4(x + 0,25)² + 0,75

Die binomische Formel rückwärts bilden ist nicht immer so schwer. Lasse das Quadrat in der Klammer am besten einfach in den Schritten vorher immer stehen. Schreibe also immer weiter 0,25² und rechne das nicht weiter aus, weil du es am Ende dann sowieso wieder bilden müsstest. Nur die 0,25², die aus der Klammer rausmultipliziert wurden, die musst du vereinfachen und somit das Quadrat auflösen. 

Wichtig! Häufiger Fehler:

Achte dabei unbedingt darauf, dass du das Quadrat dann hinter die Klammer schreibst, wenn du die binomische Formel gebildet hast, sonst ist es eben keine binomische Formel.

Sehr häufiger Fehler! Den habe ich damals immer wieder gemacht und den sehe ich bei meinen Nachhilfeschülern auch in jeder Klassenarbeit.

►► Fertig ◄

Also nochmal:

Normalform:

f(x) = 4x² + 2x + 1

Scheitelpunktform:

f(x) = 4(x + 0,25)² + 0,75

Im Bild siehst du die Funktion noch einmal! :)

Die allgemeine Form der Scheitelpunktform geht so:

f(x) = a (x - d)² + e

Jetzt kannst du folgendes und auch den Scheitelpunkt an der Funktion ablesen:

Scheitelpunkt:

S(d|e)

--> S(-0,25 | 0,75)

Wichtig:

Wie du siehst, musst du das Vorzeichen hier umkehren. Wenn d negativ ist, wird es nach rechts verschoben. Wenn d positiv ist, wird es nach links verschoben. Das musst du dir unbedingt merken.

a = 4

--> Die Parabel ist nach oben geöffnet und um den Faktor 4 entlang der y-Achse gestreckt.

d = -0,25 

--> Die Parabel ist um 0,25 LE (Längeneinheiten) nach rechts verschoben!

e = 0,75

--> Die Parabel ist um 0,75 LE nach oben verschoben. Damit gibt es auch keine Nullstellen.

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Alternativ:

Du berechnest die Nullstellen der Funktion. Der Scheitelpunkt muss genau dazwischen liegen. Das heißt aber auch, die Funktion muss überhaupt erst Nullstellen haben, was bei diesem Beispiel schon nicht mehr gegeben ist. Wenn es aber so ist, dann kannst du die entsprechende Koordinate in die Funktion einsetzten, ggf. zu ihr auflösen, vereinfachen und bekommst dann die andere Koordinate, also die y-Koordinate heraus und hast dann den Scheitelpunkt.

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Ich hoffe du kannst alles nachvollziehen und verstehen. Wenn nicht, einfach nachfragen! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi


Graph der Funktion f - (Schule, Mathe, Mathematik)

Alternative 2:

Die wohl beste Möglichkeit ist mithilfe der Ableitung. Allerdings scheinst du diese noch nicht kennen gelernt zu haben, oder?

Wenn doch, berechne die Ableitung und berechne einfach die Extrempunkte. Damit bekommst du sofort den Scheitelpunkt.

Beispiel:

f(x) = x²

f'(x) = 2x

f''(x) = 2

Notwendige Bedingung:

f'(x) = 0

2x = 0 |:2

x = 0

Hinreichende Bedingung:

Wenn f''(x) > 0, dann hat die Funktion f einen Tiefpunkt bei x.

Wenn f''(x) < 0, dann hat die Funktion f einen Hochpunkt bei x.

Jetzt die berechnete(n) Nullstelle(n) der 1. Ableitung einsetzen:

f''(0) = 2

f''(0) > 0

In die Ausgangsfunktion einsetzen, um den ganzen Scheitelpunkt zu berechnen (also noch die fehlende y-Koordinate):

f(0) = 0

--> Tiefpunkt, der eben auch der Scheitelpunkt ist bei S(0|0).

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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echt kompliziert !

allgemeine Form y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao

Scheitelkoordinaten bei xs= - (a1)/(2*a2 und ys=-(a1)^2/(4*a2)+ao

Die Formeln für die Scheitelkoordinaten findest du über die "kurvendiskussion"

f´(xs)=0= 2*a2*xs+a1 eingesetzt in f(x)=ys=a2*xs^2+a1*xs+ao

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@fjf100

Genau das war die Methode, die ich schon mehrmals in Videos & co gesehen habe. Aber wie gesagt, die habe ich noch nie angewendet und noch nie in der Schule oder sonst wo gesehen außer im Internet.

Ich glaube, diese Methode nutzt man nur in Bundesländern, wo man auch die abc-Formel oder Mitternachtsformel anwendet. Ist aber auch nur eine Vermutung. 

Aber wie gesagt:

Ich habe es noch niemals in der Schule gesehen und auch meine Nachhilfeschüler wovon 2 gerade die quadratischen Funktionen hinter sich haben mussten es immer genau wie ich über die quadratische Ergänzung machen.

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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allgemeine Form y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)^2+ys

Scheitelkoordinaten bei xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)^2/(4*a2)+ao

Die Fromeln für die Scheitelkoordinaten ergeben sich durch die "Kurvendiskussion" , 1.te Ableitung und dann in f(x) eingesetzt.

f´(xs)=0=2*a2 * xs+a1

f(x)=ys=a2*xs^2 +a1*xs+ao

Den Rest schaffst du selber,brauchst ja nur noch die Werte einsetzen.

Klassisch findest du den Scheitelpunkt mit quadratischer Ergänzung. Das mögen die Lehrer auch am liebsten. Da kann man nämlich merken, ob du die Binomischen Regeln beherrschst.

Wenn es darauf nicht mehr ankommt, setzt du die Funktion gleich 0 und rechnest per p,q (bzw. abc) die Nullstellen aus. Die x-Werte addierst du und dividierst durch 2. Dann hast du die Mitte (den x-Wert des Scheitelpunkts). Diesen x-Wert setzt du in die Kurve ein und bekommst den y-Wert des Scheitelpunkts.

Wenn du ableiten kannst, guck bei Sophonisbe. Das schreibe ich nicht nochmal extra hin.

f(x)=-x²+2x+1    führt zu
       -x² + 2x + 1 = 0  | /(-1)        vor x² darf nichts stehen
        x²  - 2x - 1  = 0                p = -2       q = -1
 
x₁,₂  = 1 ±√(1 + 1) 
x₁    =  1 + √2
x₂    =  1 -  √2

Bildung der Mitte: x = 1

x in die Kurve eingesetzt:    y = -1 + 2 + 1
                                        y = 2
Damit Scheitelpunt S(1|2)

Die Parabel ist nach unten geöffnet.

1
@Volens

Mir fällt gerade ein:

Statt der Mitte der x-Werte kannst du gleich - p/2 nehmen.
Das ist identisch.



1

Erste Ableitung gleich Null setzen, dann den ermittelten x-Wert in die Funktion einsetzen.

Falls ihr noch keine Ableitungen (Differentialrechnung) habt, kannst du das durch die quadratische Ergänzung machen. Grundlage hierfür ist die erste binomische Formel. (a+b)² = a² +  2ab + b². Ich zeige Dir das am Beispiel. x² + 2x + 1. Es ist a = x und b = 1 und somit x² + 2x + 1 = (x+1)² . Die x-Koordinate des Scheitels ist xs = - 1, da für diesen Wert die Klammer 0 wird und somit ein Minimum annimmt. ys ist dann 0

Im zweiten Fall ist es etwas komplizierter.

0,25 x³ -x +2

Wir teilen zuerst alles durch 0,25. Das ergibt 

x² -4x + 8. Hier stimmt es nicht exakt mit der binomischen Formel überein, denn -4 müßte  2b und somit b = -2 sein. Wenn wir also (x-2)²  ausrechnen erhalten wir x² -4x + 4. Das können wir aber korrigieren indem wir schreiben (x-2)² - 4 + 8. Die 4 ist b² und das müssen wir subtrahieren. Dann haben wir also y = (x-2)² + 4. Für xs = 2 wird der Extremwert erreicht, da dann die Klammer 0 wird. ys ist dann 4

 

Die erste ableitung bilden. (runterholen und erdniedrigen(-1)) Also f'(x) = -2x+2 . Das gleich null setzen -2x+2=0 und (2 rüber , dann durch -2 teilen) x=1 daraus machen. x=1 einsetzen in die Funktion und y=2 raus . Koordinaten also (1|2)

ob es sich bei dem scheitelpunkt um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt kannst du mit der 2ten Ableitung herausfinden. Diese beschreibt die Biegung der Kurve und je nachdem ob die Biegung nach rechts oder links geht, hat man einen Hoch oder einen Tiefpunkt. in der 2ten ableitung sind dabei natürlich + und - die Richtung der biegung. ich weiss gerade leider nichtmal mehr sicher was was ist (glaube - ist hochpunkt)

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Oder, wenn du eher schon fortgeschritten bist, findest du den Scheitelpunkt wie folgt:

f(x) ableiten nach x
Nullstelle x0 der Ableitung bestimmen
xo in f(x) einsetzen um y0 zu kriegen

Scheitelpunkt hat die Koordinaten (x0,y0)! :-)

Der Ordnung halber hätte man noch die zweite Ableitung betrachten müssen, also f''(x0) (ob da größer oder kleiner null ist)
aber da du hier nur parabeln hast, kann der schritt entfallen :-)

Danke, KDWalther

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@SchauHinterDich

Ich hatte mich in meiner (anderen) Antwort zwar kurz gefasst, hoffe aber, es war trotzdem verständlich. Sonst nachfragen.

Und: gern geschehen :-)

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zuerst das minus ausklammern, dann

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