Wie faktorisiert man quadratische Gleicungen?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Quadratische Terme kannst Du (wenn sich der Term tatsächlich faktorisieren lässt) mit der 3. binomischen Formel faktorisieren. W = Wurzel

Anhand Deines Terms:

2x² + x - 2 =
2 · [x² + (1/2)x                       - 1] =            quadr.Ergänzung
2 · [x² + (1/2)x + (1/4)² - (1/4)² - 1] =
2 · [ (x   +  (1/4) )²     - 1/16  -   1] =
2 · [ (x   +  1/4 )²     - 17/16] =
2 · [ (x   +  1/4 )²     - (W(17)/4)² ] =              3. Binom
2 · [ (x + 1/4 + W(17)/4) · (x + 1/4 - W(17)/4) ] =
2 · (x + 1/4 + W(17)/4) · (x + 1/4 - W(17)/4)

Daraus lassen sich jetzt die Nullstellen bestimmen, wenn gefordert.

Oder umgekehrt: Du bestimmst (z.B. mit pq-Formel) die Nullstellen
x1=-1/4-W(17)/4 und x2=-1/4+W(17)/4
Deines Terms und setzt dann ein:
2x² + x - 2 = 2·(x-x1)(x-x2)

Dann hast Du obige Faktorisierung.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

dividiert durch 2 ergibt 0=x^2 + 0,5 - 1 Nullstellen x1=0,7807 x2=- 1,28

Bildungsgesetz f(x)= (x -x1) * (x -x2) * a mit a=1

(x -x1) und (x-x2) nennt man "Linearfaktoren"

f(x)= (x - 0,7807) * (x - (- 1,28)

HINWEIS : Geht nur mit reelle Nullstellen ! Bei einer nach oben offenen Parabel und wenn der "Scheitelpunkt" über der x-Achse liegt,dann gibt es keine "reellen Nullstellen". 

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Nullstellen heißen Linearfaktoren, sodass tatsächlich sie es sind, die man zum Faktorisieren braucht. Ich versuche, es mal so kurz wie möglich zu machen. Zum Anfang nehme ich die 2 heraus.

2x²+x-2  =  2 * (x² + 1/2 x - 1)             p = 1/2        q = -1

x₁,₂ = -1/4 ± √(1/16 + 16/16) = - 1/4 ± (1/4) * √17 = 1/4 * (-1 ± √17)
x₁    = 1/4 * (-1 + √17)
x₂    = 1/4 * (-1 - √17)

Dann ist   2x²+x-2  =  2 (x - 1/4(-1 + √17)) (x - 1/4(-1 - √17))

                              =  2 (x + 1/4(1 - √17)) (x + 1/4 (1 + √17))
                                        faktorisiert

                              
Für den Linearfaktor ist die Lösung von x zu subtrahieren.
Das ist nicht gerade das rechenfreundlichste Beispiel, das ich mir vorstellen könnte.
Via Wolfram ist zu verifizieren, dass dieser Term die Äquivalenzumformung der Originalfunktion ist.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

wenn du es so nicht erraten kannst, dann machst du die pq-Formel

und dann in faktorisierter Form   2(x-x1)(x-x2)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von n3y9x
22.09.2016, 21:32

Können Sie das bitte genauer erklären?

0

2x^2 + x - 2
0= 2x^2 + x -2 |: 2
0= x^2 + (1/2)x - 1 | quadratische
                                Ergänzung
0= x^2 + (1/2)x + (1/4)^2 - (1/4)^2 -1
Binomische Formel

0= (x+(1/4))^2 - (17/16) | +(17/16)
(17/16)= (x+(1/4))^2      | Wurzeln

Dann ergibt sich +,- Wurzel aus 17/16. Zum Schluss bringst du das (1/4) noch auf die andere Seite.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Zissy174
22.09.2016, 21:36

Natürlich kannst du das auch mit p-q Formel lösen :)

0

Was möchtest Du wissen?