Wie factored man x^4+3x^3-7x^2-27x-18?

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8 Antworten

x⁴ + 3x³ - 7x² - 27x - 18 = 0

Wenn etwas wirklich schwer hier zu zeigen ist, dann die Polynomdivision.
Übrigens faktorisiert man Funktionen. Denglisch eignet sich hier gar nicht, weil du eine Vergangenheitsform nehmen musst, um die 3. Person zu verballhornen.

Zunächst probiert man die Teiler von 18 in der Hoffnung, dass die Gleichung mit einem aufgeht. Teiler { 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6; 9; -9; 18; -18}

Manchmal passt überhaupt keiner, und man hat lange daran gearbeitet. Hier haben wir Glück:   -1 ist eine Lösung.

Daraus macht man den Linearfaktor (x + 1), den man dann herausdividieren kann und hat die erste Faktorisierung vollzogen, wenn man damit fertig ist.

(x⁴ + 3x³ - 7x² - 27x - 18) : (x + 1) =

Das ist wie beim Zahlendividieren: du rechnest    x⁴ : x = x³
Und auch wie beim Dividieren rechnest du jetzt zurück, und zwar mit dem ganzen Divisor (x + 1), um den Rest zu bekommen.

 (x⁴ + 3x³ - 7x² - 27x - 18) : (x + 1) = x³
-(x⁴ +  x³)
_______
         2x²                Du subtrahierst auch, und da die Vorzeichen in der
                              Klammer sich umdrehen, bleiben 2x³ übrig.
                              Danach holst du dir den nächsten Term nach unten.


 (x⁴ + 3x³ -  7x² - 27x - 18) : (x + 1) = x³ + 2x² - 9x - 18
-(x⁴ +  x³)
____________
         2x³ - 7x²
       -(2x³ +2x²)
       ____________
               -9x² - 27x            Das geht jetzt so weiter.
             -(-9x² -  9x)
             _____________
                      - 18x - 18
                    -(-18 x -18)
                    _________
                                  0

Damit ist man (erst einmal) fertig:


x⁴ + 3x³ -  7x² - 27x - 18 = (x + 1) (x³ + 2x² - 9x - 18)
Das ist die Faktorisierung.

Man kann dann die Gleichung 3. Grades weiter faktorisieren und erhält schließlich

x⁴ + 3x³ -  7x² - 27x - 18 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x - 3)

Das sind (mit umgedrehtem Vorzeichen) die Nullstellen der Funktion.                       

x^4+3x³-7x²-27x-18=(x+1)(x³+2x²-9x-18)=(x+1)(x+2)(x²-9)

=(x+1)(x+2)(x+3)(x-3)

Die ersten zwei Nullstellen kann man nur raten, sie sind aber (ohne Vorzeichen) Teiler von 18.

Bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sind ganzzahlige Lösungen immer Teiler des "absoluten Gliedes", d. h. des Summanden ohne x. Hierbei immer beide Vorzeichen berücksichtigen.

Hier ist das absolute Glied -18. Die Teiler hiervon sind
{1, 2, 3, 6, 9, 18, -1, -2, -3, -6, -9, -18}

Setz die mal probeweise für x ein. Bei Aufgaben aus der Schulmathematik kann man meistens davon ausgehen, dass man auf diese Weise genügend Nullstellen findet, um das Polynom auf ein quadratisches zu reduzieren. Dessen Nullstellen kann man als Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Ach komm, als ob wir dir hier jetzt alle Aufgaben machen.

Nullstelle x=-1 raten, Polynomdivision, im Restterm (x+2) ausklammern oder nochmal Polynomdivision, dann die dritte bin. Formel anwenden, dann alle 'wegdividierten' Nullstellen dranmultiplizieren, fertig.

Antianton 27.06.2017, 23:14

Versteh leider nur Bahnhof :D? Wäre super hilfreich wenn du es vorrechnen könntest 

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MeRoXas 27.06.2017, 23:21
@Antianton

Eine Funktion kannst du Faktorisieren, wenn du die Nullstellen kennst, dann gilt f(x)=(x - Nullstelle #1) * (x - Nullstelle #2) ...

Wenn du jetzt 'ne Nullstelle raten kannst, dann kannst du eine Polynomdivision durchführen. Eine Nullstelle ist bspw. bei x=-1, das hat man schnell erraten, dann rechnest du (x^4+3x³-7x²-18) / (x+1), das läuft wie bei 'ner normalen Division, also alles brav untereinander ausrechen.

Dann hast du nur noch einen Ausdruck von Grad 3. Entweder machst du jetzt noch 'ne Polynomdivision (dazu die nächste Nullstelle raten), oder du siehst, dass du im Term von Grad 3 (x+2) ausklammern kannst. Mach das, dann kannst du im Restterm die dritte binomische Formel anwenden, oder den Restterm auf Nullstellen prüfen.

Im Prinzip ist das ganze 'ne große Nullstellensuche. Die erste rätst du, die anderen findest du durch ein gutes Auge oder noch mehr Polynomdivisionen heraus. Dann schreibst du das ganze in der oben genannten Form hin. Hat die Funktion bspw. die Nullstellen 2,3, -1 und -0.5, dann lautet f(x)=(x-2)*(x-3)*(x+1)*(x+0.5)

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Applwind 27.06.2017, 23:57
@MeRoXas

Schade das hier das Gruppieren nicht funktioniert.

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  1. Nullstelle erraten.
  2. Polynomdivision.
  3. Nullstelle raten.
  4. Polynomdivision.
  5. Mitternachtsformel.
  6. Faktorisierte Form hinschreiben.

Eine simple Wertetabelle reicht schon aus.

https://goo.gl/LwtsXM

Auch der eigene programmierbare Taschenrechner kann sowas für gewöhnlich.

Die Nullstellen bilden die Linearfaktoren, nach diesem Begriff kann man im Internet googeln.

Bild :

Wertetabelle - (Mathe, Mathematik, polynom)

so machen;

Setze einmal -3 und 3 ein.

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