Wie ermittel ich eine Gleichung einer Tangente an einem Schnittkreis?

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3 Antworten

Hallo,

einiges ist ja schon geklärt.

Der Schnittkreis hat die Gleichung (x-4)²+(y-3)²+(z-1)²=3, wie Du schon selbst herausgefunden hast.

Der Abstand von P (5|2|4) zum gesuchten Berührpunkt B (eigentlich sind es zwei Berührpunkte, weil von P aus zwei Tangenten an den Kreis gelegt werden können) ist Wurzel 8.

Das bekommst Du durch den Satz des Pythagoras heraus.

Da P in der Schnittkreisebene liegt, wie Du durch Einsetzen der Koordinaten von P in die Ebenengleichung leicht herausfinden kannst, ist die Tangente an den Schnittkreis gleichzeitig eine Tangente an die Kugel mit der Gleichung (x-6)²+(y-2)²+z²=9

Der Radius dieser Kugel ist die Wurzel aus 9, also 3.

Sei Der Mittelpunkt der Kugel M, dann bilden M, B und P ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse MP

Der Abstand von M zu P ist der Betrag von (6/2/0)-(5/2/4)=Wurzel aus (1²+0²+(-4)²)=Wurzel 17.

Da der Abstand MB der Kugelradius, also Wurzel 9 ist, ergibt sich für BP eben die Wurzel aus 17-9= Wurzel 8.

Du kannst also um P einen Kreis mit dem Radius Wurzel 8 schlagen. Er besitzt die Gleichung (x-5)²+(y-2)²+(z-4)²=8

Eigentlich ist das eine Kugelgleichung, denn jeder Ounkt im Raum, der von P einen Abstand von Wurzel 8 besitzt, erfüllt diese Gleichung.

Wenn Du nun die Kugel um M mit der Kugel um P gleichsetzt und dabei bedenkst, daß die Kugelgleichung um M eine 9 auf der rechten Seite stehen hat, die Kugelgleichung um P dagegen eine 8, muß die Gleichung um M minus 1 das Gleiche ergeben wie die Gleichung um P:

(x-6)²+(y-2)²+z²-1=(x-5)²+(y-2)²+(z-4)²

Praktischerweise steht auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Term (y-2)². Wir können ihn also streichen:

(x-6)²+z²-1=(x-5)²+(z-4)²

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt:

x²-12x+36+z²-1=x²-10x+25+z²-8z+16

x², y² und z² tauchen auf beiden Seiten auf und können ebenfalls gestrichen werden:

-12x+36-1=-10x+25-8z+16

Alles mit x nach links, der Rest nach rechts:

-2x=-8z+6

Das kannst Du durch (-2) teilen:

x=4z-3

Wir haben nun x in Abhängigkeit von z ausgesdrückt.

Wenn wir 4z-3 anstelle von x in die Ebenengleichung -2x+y+z=-4 einsetzen, können wir auch y in Abhängigkeit von z ausdrücken:

-2(4z-3)+y+z=-4

-8z+6+y+z=-4

-7z+y=-10

y=7z-10

Nun haben wir die drei Unbekannten x, y und z auf eine einzige reduziert, denn x=4z-3, y=7z-10

Das können wir nun in die Gleichung vom Schnittkreis (x-4)²+(y-3)²+(z-1)²=3

einsetzen:

(4z-3-4)²+(7z-10-3)²+(z-1)²=3

(4z-7)²+(7z-13)²+(z-1)²=3

16z²-56z+49+49z²-182z+169+z²-2z+1=3

66z²-240z+216=0

Teilen durch 6:

11z²-40z+36=0

Diese quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen für z:

z=2 und z=18/11

Der Einfachheit halber nehme ich jetzt z=2, um einen der beiden Berührpunkte zu berechnen:

x=4z-3=4*2-3=5
y=7z-10=7*2-10=4
z=2

Einer der Berührpunkte ist also B (5|4|2).

Er erfüllt sämtliche Kugelgleichungen und die Ebenengleichung, wie Du durch Einsetzen leicht nachprüfen kannst.

Eine Tangentengleichung ist dann P+s*(B-P)=(5/2/4)+s*(0/2/-2)

Die andere mit z=18/11 kannst Du entsprechend berechnen.

Herzliche Grüße,

Willy

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ohne die Aufgabe zu kennen, ist es schwer zu antworten.

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Kommentar von tack1997
28.06.2017, 17:04

Also gegeben ist:
Ebene: xvektor = (3,0,2)+r*(1,1,1)+s*(1,2,0)
oder
Ebene: -2x+y+z = -4

Kugel: (x-6)²+(y-2)²+z²=9

Daraus kann man erkennen:
Mittelpunkt (6|2|0)
Kugelradius = 3

Mittelpunkt des Schnittkreises (4|3|1)
Schnittkreisradius = √3

Zitat der Aufgabe:
"Bestimmen Sie Gleichungen der Tangenten durch P (5|2|4) an den Schnittkreis von E mit K."

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n Kreis ist ja immer 2D, auch wenn er „schräg“ im ℝ³ liegt... oda? :)

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Kommentar von RIDDICC
28.06.2017, 23:00

oder darf eine Tangente am Kreis auch nicht in der Ebene liegen, in der der Kreis liegt?

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