Wie erkennt man, welche Ableitungsregrl man verwenden muss?

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VORSICHT: h-Methode und "Quotientenregel" sind völlig verschiedene Dinge (obwohl es auch bei der h-Methode um einen Quotienten geht).


Die h-Methode (der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient) ist eine fundamentale Methode, die direkt mit der Definition der Ableitung verbunden ist. Sie ist insoweit immer anwendbar, aber die andere Regeln, die sich aus ihr herleiten, oft sehr viel praktischer.

Als "Quotientenregel" wird gewöhnlich die Formel

( f(x) / g(x) )' = ( f'(x)g(x) - f(x)g'(x) / ( g(x) )²

bezeichnet (im Zähler der rechten Seite stehen Produkte). Sie lässt sich mit der Schreibweise

( ( f(x) / g(x) )' = ( f(x) * ( g(x) ) ^(-1) )' = ...

durch Anwendung sowohl der Produkt- als auch der Kettenregel gewinnen; dann ist noch gewöhnliche Bruchrechnung erforderlich (kleine Übung für dich).


Zu deiner eigentlichen Frage:

Es liegt nicht fest, wann welche Regel zu wählen ist. Das ist schlicht eine Frage, was du wann praktischer findest., und das wiederum hängt von deinen Vorkenntnissen ab. Beispiel: Ich würde rechnen.

( 2x•√x. )' =

( 2 x^(3/2) )' =

3 x^(1/2) = 3 √x;

genauso geht aber es aber auch mit Produktregel:

( 2x•√x )' =

2 (√x. + x/(2√x) ) =

2 √x. + x / √x =

3 √x;

das fände ich in dem Fall unpraktisch, aber wer mit gebrochenen Exponenten nicht gut umgehen kann, wird das wohl eher mit Produktregel berechnen.

Danke für den Hinweis - dann hab ich verwechselt, tut mir leis :(

danke für deine Antwort :)

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ein bisschen allgemeiner möchte ich das noch formulieren.

wenn man eine funktion f schreiben kann mittels 2er anderer funktionen g und h also f(x)=g(x) * h(x), dann nimmt man produktregel. kann man schreiben f(x) = h( g(x) ) (das ist eine verkettung), dann nimmt man die kettenregel.

oft kann man eine funktion aber auch auf beide arten umschreiben. ziel ist es, g und h so zu wählen, dass die ableitung sehr einfach ist.

zB f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 kann man entweder in der ausmultiplizierten form mit potenzregel ableiten, oder falls man die noch nicht kennt, kann man auch f(x) = g(x) * g(x), mit g(x) = (x+1) schreiben und produktregel anwenden. (falls man wenigstens die ableitung von x^1 kennt und weiß dass konstanten verschwinden). oder eben man schreibt f(x) = h( g(x) ) mit g(x)=x+1 und h(x) = x^2 und verwendet kettenregel.

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Kettenregel bei Verkettung: (3x+4)^5 und √(4+x2) und e^(2+x) und sin(4x+3) zB

Das gute an den Regeln ist ja, dass sie immer gelten, das heißt, wo du einen Bruch machen kannst, kannst du die Quotientenregel anwenden, und wo du ein Produkt hast, kannst du die Produktregel anwenden (x² ist x*x, also ist (x * x)' = 1 * x + 1 * x = 2x usw.).

Manchmal macht es Sinn und manchmal nicht (x² kannst du ja auch ohne Produktregel ableiten mit der Exponentenregel, ist ja offensichtlich), das ganze ist Intuition.

Besonders bei der Produktregel kannst du viele Dinge durch ein wenig Tricksereien Lösen, das beste Beispiel, das mir einfällt, ist leider keine Produktableitung, sondern ein Integral ("Aufleitung") zur Herleitung des Integrals von ln(x):

∫ln(x)dx = ∫ 1 * ln(x)dx [Das ist dein Produkt]

= x * ln(x) - ∫ x/x dx [Das war die Anwendung der Produktregel für Integrale, vielleicht siehst du von selber die Verwandtschaft mit der Ableitungsregel für Produkte]

= x * ln(x) - ∫ dx = x(ln(x) - 1) + c

Besonders dieses Beispiel finde ich sehr schön, weil du manchmal die Aufleitung einer Funktion herleiten kannst, einfach dadurch, dass du ihre Ableitung kennst und 1 * (Deine Funktion) als Produkt ansiehst.

LG

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