Wie einen Bruch mit x im Zähler und Nenner ableiten?

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3 Antworten

f(x) = (x+2)/x = (x+2) * x⁻¹
f'(x) = 1 * x⁻¹ + (x+2) * (- x⁻²) = 1/x - (x+2)/x²

Das ist dein Ergebnis. Da wir wissen, dass JotEs Lösung auch richtig ist, will ich dir zeigen, wie man sie ineinander überführt.

  1/x - (x+2)/x²
= 1/x - x/x² - 2/x²
= 1/x - 1/x - 2/x²
= -2/x²

Deine Lösung wurde einfach nicht zuendegerechnet, ist aber genauso korrekt.

1/x - (x+2)/x²
Das ist dein Ergebnis

Nein, das ist nicht das Ergebnis des Fragestellers. Der Fragesteller gab an, dass folgende Ableitung in seinem Buche stehe:

f ' ( x ) = - x + 2 / x ²+ 1 / x

und das ist nicht dasselbe wie das, was du Du geschrieben hast.

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@JotEs

Komm schon, JotEs, du hast doch selbst den Term der Aufgabe als (x+2)/x interpretiert, obwohl da x+2/x steht.

Wenn du die Klammern richtig setzt (die mit Sicherheit im Buch nicht notwendig sind, weil dort ein waagerechter Bruchstrich steht), dann ist es das gleiche Ergebnis.


Klammern werden oft von Matheschwachen vergessen, denn in der handschriftlichen oder drucktechnischen Darstellungsform sind sie oft nicht notwendig, in der EDV aber schon.

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@Suboptimierer

du hast doch selbst den Term der Aufgabe als (x+2)/x interpretiert

Das stimmt - und dafür, dass ich das einfach so ohne irgendeine Bemerkung getan habe, könnte ich mich jetzt noch ohrfeigen ... :-)

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Mit der Quotientenregel

(u / v)' = (u'v - uv') / (v²)

Wobei u und v von x abhängige Funktionen sind. In deinem Falle: u = x+2 ; v = x

f ( x ) = ( x + 2 ) / x

[kann man umformen zu:]

= 1 + 2 / x

= 1 + 2 * x ^ - 1

Das kannst du summandenweise ableiten, also:

f ' ( x ) = 0 + ( - 2 * x ^ - 2 )

= - 2 / x ²

Die von dir angegebene Ableitung ist falsch.

Die von mir angegebene Ableitung steht in meinem Mathebuch... Bist du dir sicher, dass die falsch ist?

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@JotEs

Vielleicht interpretiere ich deine Ableitung auch anders, als du sie gemeint hast ....?

Versuche doch einmal, in deiner Ableitung durch Klammersetzung klarzustellen, was im Zähler und was im Nenner stehen soll ....

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@Zimtperle

Auch wenn JotEs sicher ist: Es ist falsch, dass die Angabe im Mathebuch falsch wäre. Suboptimierer hat schon vorgerechnet, dass beide Ergebnisse, also das von JotEs und das im Mathebuch, das Gleiche bedeuten.

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@psychironiker

Nun, die ganze Geschichte krankt doch hier wieder mal an der Unfähigkeit, einen Term, ggf. mit Hilfe von Klammern, so darzustellen, wie er gemeint ist.

Der Fragesteller fragte nach der Ableitung von

f ( x ) = x + 2 / x

Dies ist ohne Wenn und Aber so zu interpretieren:

f ( x ) = x + ( 2 / x )

und die Ableitung davon ist zweifellos:

f ' ( x ) = 1 - 2 / x ²

Ist jemand anderer Ansicht ... ?

.

Gemeint hat der Fragesteller aber vermutlich

f ( x ) = ( x + 2 ) / x

Die Ableitung davon ist:

f ' ( x ) = - 2 / x ²

oder meinetwegen auch

f ' ( x ) = - ( x + 2 ) / x ² + 1 / x

aber jedenfalls nicht

f ' ( x ) = - x + 2 / x ² + 1 / x

wie es laut Fragesteller in dem Buche geschrieben steht, da dies so zu interpretieren ist:

f ' ( x ) = - x + ( 2 / x ) + ( 1 / x )

und das ist nicht gleich - 2 / x ²

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