Wie E-Funktion ableiten?

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5 Antworten

Hierzu benutzt Du zum einen die Produktregel und zum anderen bei der Ableitung der "e-Potenz" zusätzlich die Kettenregel (sprich: innere Ableitung nicht vergessen).

also: f'(x)=2x * e^(-0,5x) + (x²-4) * e^(-0,5x) * (-0,5)

Jetzt e^(-0,5x) ausklammern und den Rest zusammenfassen...

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ausmultiplizieren: f(x) = x²exp(-½x) - 4exp(-½x)

ableiten mit Produktregel und mit exp(nx)' = aexp(nx) für beliebige n aus IR

f'(x) = 2xexp(-½x) + (-½)exp(-½x) - 4(-½)exp(-½x)

ausklammern f'(x) = exp(-½x) [2x + x²(-½) -4(-½)] = exp(-½x) [-½x² +2x +2]

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Du musst die Produktregel und die Kettenregel anwenden.

Produktregel (u v)' = u v' + u' v. Also (x^2 - 4) * (e^-0,5x)'  + (x^2-4)' * (e^-0,5x)

Für e^(-0,5x)' brauchst Du die Kettenregel. Also, Du betrachtest den Term  -0,5x, als eine Variable und leitest nach dieser ab. Das Ergebnis multiplizierst Du noch mit (-0,5x)'. Also ( e^-0,5x)' = e^-0,5x * -0,5. Anmerkung: Die Ableitung der e Funktion ist diese selbst.

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  Lass mal Pappi ran. Die Kurvendiskussion ( KD ) folgt einer ganz bestimmten Ordnung. Zunächst die Nullstellen; die e-Funktion hat keine. Also musst du das Polynom Null setzen.

      x1;2 = ( -/+ 2 )      (  1a  )

   Die e-Funktion ist ja immer positiv; überlegen wir uns das Vorzeichen des Polynoms.

     | x | > 2 ===> f ( x ) > 0        (  1b  )

    | x | < 2 ===> f ( x ) < 0        (  1c  )

   Halt; Ableiten is noch lange nich. eine lebenswichtige Frage, die gar nicht gestellt war: die Asymptotik. Wegen ( 1b ) geht f ( x ) gegen ( + °° ) für x ===> ( - °° ) , aber wie die e-Funktion. Im Falle x ===> ( + °° ) bretterst du auf den Fall ( °° ) * 0 ; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   f ( x ) geht demnach asymptotisch gegen ( + 0 )

     Wo ihr euch immer so sträubt; aus diesen Erkenntnissen kannst du doch bereits einen Slalom aufbauen. Ich krieg nämlich immer Kommentare, diese Grobskizze sei entbehrlich.

   ( - 2 ) < x ( min ) < 2 < x ( max ) < x2 ( w )   ( 2a )

    Zwischen den beiden Extrema versteckt sich allerdings noch ein zweiter WP

   ( - 2 ) < x ( min ) < x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w )   ( 2b )

   Die erste Ableitung bilden wir am Besten ===> logaritmisch; das bietet den Vorteil, dass die Rechenstufe um Eins erniedrigt wird.

 ln ( y ) = ln ( x ² - 4 ) - x / 2       (  3a  )

                                  2 x

  y ' / y = 0    =   --------------------  -  1/2 | * HN ( 3b )

                                 x ² - 4

      x  ²  -  4  x  -  4  =  0    |  MF     (  3c  )

   x ( min / max ) = 2 [ 1 -/+ sqr ( 2 ) ]    ( 3d )

   Nein ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer. Der TR bleibt schön in der Schublade; mit rein Zahlen teoretischen Argumenten prüfen wir nach, dass sich die Extrema ( 3d ) tatsächlich in den Intervallen ( 2a ) aufhalten - für das Maximum ist das ja trivial erfüllt.

   | x ( min ) | = sqr ( 8 ) - 2        (  4a  )

   Ist das jetzt wirklich kleiner 2 ? Aktion Wilhelm Bendow; haach ist das aufregend. Wer gewinnt denn; Minuend oder Subtrahend?

   Mein Standardverfahren: eine ganz vorsichtige Abschätzung, bei der der Radikand nicht weiter aufgerundet wird als bis zur nächsten Quadratzahl.

| x ( min ) | < sqr ( 9 ) - 2 = 1    (  4b  )

    Und damit verschärft sich ( 2a )

  ( - 1 ) < x ( min ) < 2     (  4c  )

   Für die 2. Ableitung sollten wir uns das Leben nicht unbedingt schwerer machen, als es ist. Es gibt nämlich eine verallgemeinerte produktregel für Ableitung n-ter Ordnung, die sog. Leibnizregel ( Courant Bd. 2 ) Mit der könntest du aus dem Stand ohne Zwischenschritte aus der Ausgangsfunktion die 4 711. Ableitung bilden; die Leibnizregel folgt ganz einfach dem binomischen Lehrsatz. Für 2. Ableitung sieht man sofort ein

  ( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "    ( 5a )

   Statt " e-funktion " schreibe ich im Folgenden abkürzend v
; die geht eh den Bach runter.

  f " ( x ) = 2 v + 2 * 2 x * ( - 1/2 ) v  +   (  5b  )

    +  1/4 ( x ² - 4 ) v  =  0    (  5c  )

   Ich schick erst mal ab; den Rest mach ioch nachher - versprochen.

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 Alle sagen nur immer, was man tun könnte, statt es zu tun; hier die
versprochene Ergänzung Teil 2 . Bitte zuerst Teil 1 lesen; ich musste
mich erst mal schlafen legen ( Ich kann mir das ja erlauben )

  
Hoffentlich wird es von den Administratoren richtig angefügt; wann gibt
es hier endlich richtige Ergänzungen wie bei der Konkurrenz ===>
Lycos? Bei Lycos darfst du nämlich nur einmal antworten, hast aber
beliebig viele Ergänzungen, die dann auch richtig platziert werden.

  Die Normalform der quadratischen Gleichung ( 1.5bc ) lautet

    x  ²  -  8  x  +  4  =  0   |  MF     (  2.1a  )

    x1;2  (  w  )  =  2 [ 2 -/+ sqr ( 3 ) ]    (  2.1b  )

   Zurück zu ( 1.2a ) ; wir müssen noch nachholen

     x  (  max  )  <  x2  (  w  )      (  2.2a  )

  
( 2.2a ) ist aber trivial erfüllt, weil in ( 1.3d;2.1b ) schon getrennt
für die rationale ( ganzzahlige ) Komponente 1 < 2 so wie für die
entsprechenden Radikanden 2 < 3 . Jetzt müssen wir noch überlegen, ob
sich x1 ( w ) , wie in ( 2.2b ) gefordert, zwischen den beiden Extrema
befindet.

   Dazu wenden wir auf ( 1.3c;2.1a ) die cartesische Vorzeichenregel an

    x  (  min  )  <  0  <  x1  (  w  )   (  2.2b  )

     Offen ist nur noch

    x1 ( w ) < 2  ===> x1 ( w ) < x ( max )  ( 2.3a )

   Da die Wurzel diesmal im Subtrahenden steht, müssen wir auf die nächste Quadratzahl ABrunden.

  x1 ( w ) = 4 - sqr ( 12 ) <    (  2.3b  )

     <  4 - sqr ( 9 ) = 1 < 2   (  2.3c  )

   Du kannst ja zur Sicherheit nochmal alle Positionen durch gehen, ob wir jetzt wirklich alles bewiesen haben.

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