Wie diskutiert man eine Kurvenschar allgemein?

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2 Antworten

fa(x) = 1/2 x^4 - ax² , a>0

Diese Funktion kannst du diskutieren wie jede andere auch. Das a ist ja nur ein Platzhalter für eine beliebige positive Zahl.

fa'(x) = 2x³ -2ax und fa''(x) = 6x² -2a zum Beispiel...

Symmetrie kann man sich anschauen, und sieht dabei leicht, dass alle Funktionen der Schar symmetrisch zur y-Achse sind. Kriterium hierfür: f(x) = f(-x) -> einsetzen und ausrechnen oder einfach damit begründen, dass nur gerade Exponenten von x vorkommen.

Extrema wie immer : erste Ableitung gleich Null setzen und die zweite Ableitung muss an den gefundenen möglichen Extremstellen ungleich Null sein...

fa'(x) = 2x³ -2ax; fa'(x) = 0 <=> 2x³ -2ax = 0 <=> 2x(x² -a) = 0 <=> x = 0 oder x²-a=0....

Für die Wendepunkte muss die zweite Ableitung gleich Null gesetzt werden.

fa''(x) = 6x² -2a; fa''(x) = 0 <=> 6x² -2a = 0 <=> 6x² = 2a <=> x² = 1/3 a....

Hinreichendes Kriterium: fa'''(x) ungleich Null. fa'''(x) = 12x hier die möglichen Wendestellen einsetzen und dann entscheiden...

Natürlich auch immer noch die zweiten Koordinaten zu den gefundenen Stellen bestimmen. Die markanten Punkte der Schar hängen jeweils von a ab. Das sieht aber schlimmer aus als es wirklich ist.... ;-)

Hoffe der Nebel ist schon etwas lichter geworden!

kannst ja noch was zur symmetrie sagen ;)

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