Wie bilde ich die partielle Ableitung folgender Funktion?

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4 Antworten

f(x)=wurzel(x*y)-1
f(x)=(x*y)^(1/2)-1

f'(x)=(1/2)*(x*y)^(-1/2)
f'(x)=1/(2*wurzel(x*y))

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Betrachte die Funktion:

f: ID --> IR ;    f(x,y) = sqr(x*y) - 1

Da gelten muss:    x*y >= 0

1.Fall:   x >= 0  -->  y >= 0

2.Fall:   x < 0  --->  < y <= 0

Teilen wir die Funktion daher in 2 Teile auf:

f1 : [0, inf) x [0, inf) ---> IR ;  f1(x, y) = sqr(x*y) - 1

f2: (-inf; 0) x (-inf, 0) --> IR ; f2(x, y) = sqr(x*y) - 1

Wir stellen nun fest, dass die Funktion auf den jeweiligen Teilintervallen stetig, wohldefiniert und sogar stetig diffbar bis auf bei x = 0 ist mit der Kettenregel.

So folgt durch differenzieren nach x:

f1´ : (0, inf) x (0, inf) --> IR ;  f1´(x, y) = sqr(y)*(1/2)*(1/sqr(x))   II Kettenregel

f2´ : (-inf, 0) x (-inf, 0) --> IR ; f2´(x, y) = d/dx [ sqr( |x|*|y| ) ]

= sqr(|y|) *(1/2) * d/dx [ |x| ] *(1/sqr(|x|))

mit d/dx [ |x| ] = x/|x|

= sqr(|y|) *(1/2) * (x/|x|)*(1/sqr(|x|))

= sqr(|y|)*(1/2) *(x/( sqr(|x|)^3) )


Also erhalten wir insgesamt die partiellen Ableitungen:

f1´(x, y) =  sqr(y)*(1/2)*(1/sqr(x)) ;  (x,y) aus (0, inf) x (0, inf)

f2´(x, y) = sqr(|y|)*(1/2) *(x/( sqr(|x|)^3) ) ; (x,y)  aus (-inf, 0) x (-inf, 0)

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Ich vermute, du meinst die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x. Diese Funktion hat mehrere partielle Ableitungen, je nachdem, wonach abgeleitet werden soll. Es ist auch nicht ganz klar, ob die 1 noch unter der Wurzel steht, ich vermute mal nicht.

Um die partielle Ableitung zu bilden, musst du die jeweils andere Variable wie eine Konstante behandeln. Also beim Anwenden der Ableitungsregeln wie eine Zahl, z.B. wie eine 3.

f(x,y) = √(x*y) - 1

f'x(x,y) = √(x*y)' - 1' --> Potenzregeln anwenden

f'x(x,y) = (√x * √y)' - 1' --> da y und damit auch √y eine Konstante ist, kannst du sie vorm Ableiten des Terms rausziehen

f'x(x,y) = √y * (√x)' - 1' --> jetzt √x ableiten --> siehe Ableitungsregeln

f'x(x,y) = √y * 1/(2*√x) - 1' --> 1 ableiten --> siehe Ableitungsregeln

f'x(x,y) = √y * 1/(2*√x)

f'x(x,y) = √y / (2*√x)

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Kommentar von gutefrage304
05.02.2017, 15:56

Vielen Dank für deine Antwort!,

ich meinte es so wie von dir beschrieben, sind tatsächlich ein paar kleine formale Unfeinheiten enthalten. Entschuldigung dafür!

Es stehen nun aber leider zwei Ergebnisse im Raum. Einmal deins und dann noch das von Nutzer savest8. Oder zusammegefasst einmal mit Kettenregel und einmal ohne. Welches ist denn nun das Richtige?

LG gutefrage304

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Hallo gutefrage304, 

ich habe die Lösung dieser Aufgabe dieser Antwort als Bild angehängt.

Viele Grüße

André, savest8

Rechenweg - (Schule, Mathe, Universität)
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Kommentar von hrNowdy
05.02.2017, 15:34

In der oberen Zeile ist dir wohl eine -1 abhanden gekommen - hat zwar keine relevanz aber dennoch :D

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Kommentar von gutefrage304
05.02.2017, 15:43

Jetzt bekommen die zwei Kommentare nach dir ein anderes Ergebnis raus. Nämlich selbiges, welches ich auch stets erhalte.

Wäre es daher möglich, deinen Rechenweg ausführlicher hinzuschreiben

Auf jeden Fall schon einmal Danke für deine Mühen! ;)

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