Wie beweist man Relationen?

 - (Mathe, Mathematik)

3 Antworten

wegen dem n würde ich mal annehmen dass man da induktion machen sollte:
für n=1 ist
summe aj mal summe aj^-1
=a1*a1^(-1)=a1/a1=1 >=1^2
passt.

die induktionsvoraussetzung: für mind. ein n gilt *siehe formelin der aufgabenstellung*

induktionsschritt:
(summe aj bis n+1)*(summe aj^-1 bis n+1)
wir betrachten mal a(n+1) und an separat von allem anderen:
((summe aj bis n)+a(n+1))*((summe aj^-1 bis n)+a(n+1)^-1)
die 2 summen nenne ich jetzt der einfachheit halber mal A und A^-1:

=(A+a(n+1))*(A^-1+a(n+1)^-1)
=A*A^-1 + A*a(n+1)^-1 +a(n+1)*A^-1 +a(n+1)*a(n+1)^-1
wir wissen:
A*A^-1>=n^2 nach induktionsvoraussetzung
a(n+1)*a(n+1)^-1=a(n+1)/a(n+1)=1

über die anderen 2 Terme wissen wir bisher noch nix.

also:
=A*A^-1 + A*a(n+1)^-1 +a(n+1)*A^-1 +a(n+1)*a(n+1)^-1
>= n^2+1+A*a(n+1)^-1 +a(n+1)*A^-1

Weiter weiß ich auf Anhieb auch nicht.

Jetzt rein praktisch überlegt, so mit hinblick dass wir zeigen wollen dass das Ganze größer gleich (n+1)^2=(n^2+2*n+1) ist, müsste wir nun einen Weg finden zu zeigen dass A*a(n+1)^-1 +a(n+1)*A^-1 >=2n ist.

wir bemerken am Rande dass
A*a(n+1)^-1 der Kehrbruch von a(n+1)*A^-1 ist.
allgemein wissen wir dass gilt (bzw. zeigen es hier gerade):
a/b+b/a=(a^2+b^2)/(a*b)
wie uns das hier nützlich ist, weiß ich aber auch nicht :-D



Das musste ich auch schon mal machen. Ging glaube ich per Induktion. Man musste irgendwo benutzen, dass a+a^(-1) größer gleich 2 ist.

Versuch mal die Aussage mit Vollständiger Induktion zu beweisen. Wenn du mit dem Tipp nicht weiterkommst, meld dich einfach noch mal.

Hallo MissMaple42,

mit dem Induktionsanfang würde ich noch klar kommen, mit dem Schritt hätte ich jedoch Probleme. Ich wüsste nicht wie :S

0
@Masch2014

du müsstest dann ja die Summen j=1 bis (n+1) betrachten. Die kannst du auch zerlegen in summe(j=1 bis n)+summe(j=n bis j=n+1) wobei die letzte Summe gerade a_(n+1) ist. Soweit klar?

Dann hast du ja ein Produkt aus zwei Summen, das Multiplizierst du erst einmal aus und schaust wie du es weiter vereinfachen kannst.

0

Was möchtest Du wissen?