Wie beweist man, ob eine Wurzel als Bruch geschrieben werden kann?

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1 Antwort

Machen wir es mal generell. n sei eine natürliche Zahl mit der Darstellung n = √(p/q), also n = p^2 / q^2 oder
n • q^2 = p^2.
In dieser Gleichung taucht rechts jede Primzahl von p doppelt auf, wegen des Quadrats, daher ist die Anzahl aller vorkommenden Primzahlen rechts gerade.
So, dies muss nun auch links gelten, bei q^2 ist die Anzahl eh gerade, entscheidend ist also allein n.
Wenn in n alle in der Primfaktorzerlegung vorkommenden Primzahlen in gerader Anzahl vorkommen, ist √n rational, sonst nicht.
Bsp: √7 ist nicht rational , denn die 7 kommt nur einmal vor.
Bsp: √8 ist nicht rational, denn 8= 2•2•2 und 2 kommt dreimal vor.
Bsp: √4 ist rational , denn 4=2•2 und 2 kommt zweimal vor.

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Kommentar von PWolff
08.05.2016, 18:24

Korrolar (weitere interessante aber nicht unbedingt dazugehörende Folgerung):

Wenn wir einen echten Bruch haben - also eine rationale Zahl p/q, maximal gekürzt, mit q ≠ 0, so ist sein Quadrat p²/q² ebenfalls maximal gekürzt mit Nenner q² ≠ 0, also wieder ein echter Bruch.

Durch leichten indirekten Beweis ergibt sich damit: Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche oder eine irrationale Zahl.

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