Wie beweist man, dass alle Funktionen R -> R sich aus punkt- und achsensymmetrischen Funktionen zusammenstellen lassen?

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2 Antworten

Für Polynome kann man sich als Anregung https://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen#Zerlegung anschauen.

Die Idee dahinter ist, dass ∑ aᵢ x^i sich zerlegen lässt in ∑ a₂ᵢ x^(2i) + ∑ a₂ᵢ+₁ x^(2i+1).

Den ersten Teil kann man ausnullen, wenn man jedes a₂ᵢ x^(2i) - a₂ᵢ (-x)^(2i) rechnet. 
Den zweiten Teil kann man ausnullen, wenn man +a₂ᵢ+₁ (-x)^(2i+1) rechnet.

Wenn man also alle Koeffizienten mit ax^i + a(-x)^i nimmt, bleiben die geraden Summanden erhalten, mit doppeltem Koeffizienten. 
In Anlehnung dessen bleiben mit ax^i - a(-x)^i die ungeraden Summanden erhalten.

Wie man den Satz aber allgemein für Funktionen beweisen kann, kann ich dir auch nicht sagen. Vielleicht ist die Idee dahinter, allgemein Funktionen durch Polynome approximieren zu wollen.

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Easy. Nehmen wir einfach mal irgendeine Function `f: R->R`. Dann ist ja auf jeden Fall

f(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 + (f(x) - f(-x)) / 2

Der erste Teil ist achsensymmetrisch, der zwote punktsymmetrisch. Bäm.

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Kommentar von eddiefox
04.05.2016, 05:28

Aber wie soll diese Aufteilung für

 f(x) = √x  oder

g(x) = ln(x)  gehen? 

Für x>0 sind f(-x) und g(-x) nicht definiert.

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