Wie beweise ich meine Aufgabe mit vollständiger Induktion?

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3 Antworten

Jetzt musst du zeigen, dass wenn ∑ [k=1;n] (2k-1) = n^2 gilt,
auch ∑ [k=1;n+1] (2k-1) = (n+1)^2 gilt.

Also nimmst du dir eine Seite der 2. Gleichung und formst diese so um, dass du die 1. Gleichung einsetzen kannst und formst dann weiter um, bis du die komplette 2. Gleichung da stehen hast.

   ∑ [k=1;n+1] (2k-1)                     | letzten Summanden aus der Summe holen
= (2(n+1)-1) + ∑ [k=1;n] (2k-1)      | einsetzten der 1. Gleichung
= (2(n+1)-1) + n^2
= (2n+2)-1 + n^2
= 2n + 1 + n^2
= n^2 + 2n + 1                                | binomische Formel
= (n+1)^2

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die aussage ist: die Quadrat Zahlen sind die Summe der ungeraden Zahlen
nur mal nebenbei
angenommen es gilt für n
du setzt n+1 statt n das ergibt
Über der Summenformel steht n+1 und darunter k=1: (2k-1) = (n+1)^2
Über der Summenformel steht n und darunter k=1: (2k-1) +2(n+1)-1= (n+1)^2
(Den letzten Part der Summe hab ich seperat hinter der Summe geschrieben)
n^2+2(n+1)-1= (n+1)^2
(ich habe die Summe von 1 bis n als n^2 geschrieben da wir annehmen das gilt)
n^2+2n+1=n^2+2n+1 stimmt
wir wissen es gilt für n=1 und wenn es für ein n gilt gilt es auch für das nächste n, also gilt es für alle n ab 1

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Kommentar von 11inchClock
28.10.2015, 17:51

Momentchen, wenn man bei (2k-1) für k zahlen einsetzt kommt außer bei 1 immer etwas anderes als bei n^2 raus..

0

Summe bis n ist n² nach Voraussetzung

und Summe bis n+1 ist dann

n² + 2(n+1) - 1 also n²+2n+2-1=n²+2n+1=(n+1)²  qed

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