wie beweise ich dies durch vollständige Induktion - Lineare Algebra-?

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3 Antworten

Schau dir noch mal die letzte Zeile deiner Rechnung an. Du musst jetzt ja zeigen, dass die Summe durch 5 teilbar ist. Das ist aber der Fall, da jeder einzelne Summand (ohne Rest) durch 5 teilbar ist. Ist dir klar warum das so ist?

Wenn der Induktionsanfang feststeht, reicht es zu beweisen, dass die DIFFERNZ von

(n+1)^5 - (n-1) und n^5 - n Mod 5 = 0 ist!

Ist das verständlich?

Ziehe also n^5 - n von (n+1)^5 - (n-1) ab und du solltest es sehen. Wenn nicht: frag nach!

(n+1)^5 - (n-1) sollte (n+1)^5 - (n+1) sein , oder? (Tippfehler gemacht?)

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Mal aus Interesse, hier eine Alternative, ohne Induktion (auch wenn die Aufgabe das erfordert). Zunächst forme man um:

n⁵–n = n·(n⁴– 1)

Zu zeigen: für alle n gilt n ≡ 0 oder n⁴ – 1 ≡ 0 mod 5.

  • Fall 1. n≡0 mod 5. Fertig.
  • Fall 2. nicht(n≡0 mod 5). Dann ist [n] in der multiplikative Gruppe G:=(ℤ/5ℤ)*, die aus 4 Elementen besteht. Betrachte die Untergruppe H:=<[n]>. Es gilt allgemein: |H| teilt |G|(=4). Darum gilt |H|=1, 2 oder 4. In allen Fällen gilt notwendigerweise n^d ≡ n^0 ≡ 1 mod 5, wobei d = |H|. Da d | 4, gilt somit n^4 = (n^d)^(4/d) ≡ 1^(4/d) ≡ 1 mod 5. Also n⁴ – 1 ≡ 0 mod 5.
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Jetzt noch einmal die Induktionsannahme verwenden, und du bist fertig.

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Unter anderem nehmen wir im ersten semester folgende mathe inhalte durch :

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