Wie beweise ich die Linearität dieser Abbildung?

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3 Antworten

Die kanonischen Basen von ℝ^n setzen sich aus den Vektoren zusammen, bei denen genau eine Koordinate 1 ist und die übrigen 0. Also z. B. bei ℝ^3: {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}.

Schauen wir uns mal das Beispiel mit dem Kreuzprodukt an, das scheint mir das schwierigste zu sein:

Sei w = (w1,w2,w3) und v = (v1,v2,v3). Dann ist

w × v = (w2 v3 - w3 v2, w3 v1 - w1 v3, w1 v2 - w2 v1)

Damit lässt sich für v = a + b und für v' = λ v die Linearität durch Einsetzen nachweisen.

Für die Abbildungsmatrix:

L(v) = M · v

= ( (m11,m12,m13), (m21,m22,m23), (m31,m32,m33) ) · (v1,v2,v3)

=(m11 v1 + m12 v2 + m13 v3, m21 v1 + m22 v2 + m23 v3, m31 v1 + m32 v2 + m33 v3)

Dieser Ausdruck muss für alle v dem obigen Ausdruck für w × v sein.

Das bedeutet für die erste Koordinate:

m11 v1 + m12 v2 + m13 v3 = w2 v3 - w3 v2

Dies muss gelten, egal was man für v1, v2, v3 einsetzt, also setzen wir diese alle bis auf jeweils eins gleich 0:

m11 v1 = 0

m12 v2 = -w3 v2

m13 v3 = w2 v3

Daraus können wir die erste Zeile der Matrix ablesen.

Entsprechend für die anderen Zeilen.

Zusammengefasst ist M gleich

   0  -w3   w2
w3 0 -w1
-w2 w1 0
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Martinmul 17.03.2016, 11:21

Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort! Ich verstehe es jetzt schon viel besser, nur noch eine Frage: Wie genau hilft mir das Einsetzen des Kreuzprodukts beim Beweisen der Linearität z.B bei L(v+w)= L(v) + L(w)? Es ist ja nur L(v) definiert, ich weiss leider nicht so recht was ich für die beiden andere  Komponenten einsetzen soll...

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PWolff 17.03.2016, 11:28
@Martinmul

Die Aufgabe ist insofern überhaupt nicht anfängerfreundlich formuliert, als der Buchstabe w für zwei völlig verschiedene Größen verwendet wird - einerseits als Parameter der linearen Abbildung, andererseits als ein beliebiger Vektor, der in dieselbe Kategorie wie v gehört.

Deshalb habe ich ja auch die Buchstaben a und b bei der Zerlegung von v gewählt. (Ich hätte auch v1 und v2 nehmen können, dann wäre aber die Notation der Komponenten wie v23 möglicherweise verwirrend gewesen.)

Du setzt überall statt "v" "a + b" ein. Dann formst du diesen Ausdruck so um, dass am Ende statt "L(a+b)" "L(a) + L(b)" steht.

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PWolff 17.03.2016, 11:46
@PWolff

Nachträglich ist mir aufgefallen, dass die Wahl von a und b für diese Vektoren insofern ungünstig ist, als diese Buchstaben schon für Koordinaten von w verwendet werden.

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Martinmul 17.03.2016, 16:04
@PWolff

Vielen Dank für deine erneute Antwort! Ich habe gerade alle Beispiele zu Hause gelöst und verstehe es jetzt endlich. Du hast mir wirklich sehr geholfen - ich weiss nicht, woher ich sonst so gute und zuverlässige Hilfe bekommen hätte!

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Du betrachtest einfach L(v+k) bzw. L(lamda * v) und versuchst dann, mittels Termumformungen L(v)+L(k) daraus zu machen. Am besten schriebst du dir beide Seiten erst mal hin, dann solltest du recht schnell sehen, was zu tun ist.

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Bei mir im Ingenieurstudiengang hat es gereicht das Folgende zu zeigen. Kann gut sein, dass im Mathematikstudium mehr gefordert wird.

u = (a_1  a_2  a_3)^T       a_1 a_2 a_3 ∈ R

v = ( b_1  b_2  b_3)^T       b_1 b_2 b_3 ∈ R

w = (c_1  c_2  c_3)^T       c_1 c_2 c_3 ∈ R

Additivität:

L(u+v) 

= (c_1  c_2  c_3) * (a_1+b_1  a_2+b_2  a_3+b_3)^T 

=  (c_1*(a_1+b_1)  c_2*(a_2+b_2)  c_3*(a_3+b_3))^T 

= (c_1*a_1  c_2*a_2  c_3*a_3)^T + (c_1*b_1)  c_2*b_2  c_3*b_3)^T

= L(u) + L(v)

Homogenität:

L(λv)

= ( λ *a_1  λ *a_2  λ *a_3)^T

= λ * (a_1 a_2 a_3)^T

= λ L(v)

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Stnils 16.03.2016, 23:34

Ich sehe gerade, dass mein Beispiel zur Additivität leider falsch ist. Ich hab als Abbildungsvorschrift eine Matritzenmulitplikation statt dem Kreuzprodukt angewandt...


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Martinmul 17.03.2016, 11:18
@Stnils

vielen Dank für deine Antwort, das hilft wirklich viel! :)

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