Wie beweise ich die Dreiecksungleichung für die A-Norm?

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Ich würde sagen, es ist am einfachsten zu zeigen, dass durch

ein Skalarprodukt gegeben ist. Dann kann man

als die von dem entsprechenden Skalarprodukt induzierte Norm sehen. Mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhält man dann:

Allgemein kann man damit entsprechend zeigen, dass die von Skalarprodukten induzierten Normen tatsächlich die Dreiecksungleichung erfüllen ...

Vergleiche: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm#Normaxiome

Da also die von Skalarprodukten induzierten Normen tatsächlich Normen sind, müsstest du einfach nachweisen, dass durch

tatsächlich ein Skalarprodukt gegeben ist.

Die positive Definitheit erhält man hier, da die Matrix A positiv definit ist.
Die Symmetrie erhält man hier, da die Matrix A symmetrisch ist.
Die Bilinearität ist auch schnell nachgerechnet.

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Hmm, ich finde ja die idee klingt echt gut, aber wenn <x,y> = sqrt(...) ist, müsste dann nicht (bei dem 2. bild von dir) ||x|| = sqrt(<x,x>) = sqrt(sqrt(...)) sein ?

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