Wie beweise ich, dass diese Potenz stärker ansteigt als dieses Polynom?

Hallo. Gegeben ist das Polynom $2x^2+x-6$ und die Potenz

$2^x$ Ich weiss, dass die Potenz (mit x = Natürliche Zahl) ab dem Wert 7 immer höhere Ergebnisse liefert als das Polynom, aber wie beweise ich das?

Answer 1

[MeRoXas]

Beachte, dass 2^x=e^(x*ln(2)) ist.

Definiere nun f(x):=2^x=ln(e^(2^x)) und g(x):=2x²+x-6 und h(x):=f(x)/g(x)

Dann ist

$\lim_{x\to\infty}h\left(x\right)=\lim_{x\to\infty}\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\to\infty}\ \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}$ nach dem Satz von L'Hospital.

$=\lim_{x\to\infty\ }\frac{\left(e^{x\cdot\ln\left(2\right)}\right)'}{\left(2x^2+x-6\right)'}=\lim_{x\to\infty\ }\frac{\ln\left(2\right)\cdot e^{x\cdot\ln\left(2\right)}}{4x+1}$

Das bringt einen noch nicht weiter. Zähler und Nenner gehen immer noch gegen unendlich, aber wenn man den Satz von L'Hospital nochmal anwendet, erhält man:

$=\lim_{x\to\infty\ }\frac{\ln\left(2\right)^2\cdot e^{x\cdot\ln\left(2\right)}}{4}=\left(\frac{\ln\left(2\right)}{2}\right)^2\cdot\lim_{x\to\infty\ }e^{x\cdot\ln\left(2\right)}$

$=\left(\left(\frac{\ln\left(2\right)}{2}\right)^2\cdot\lim_{x\to\infty\ }2^x\right)$

Wenn du benutzen darfst, dass lim e^(a*x) für positive a gegen unendlich geht (bzw. dass 2^x gegen unendlich geht), bist du hier fertig.

_____

Da der Quotient gegen unendlich geht, muss der Zähler stärker als der Nenner ansteigen, was zu zeigen war.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Answer 2

[CooolFabian]

Folgendes:

$u\left(x\right)=2^x;\ v\left(x\right)=2x^2+x-6$

Lege eine Wertetabelle an und bilde eine Ungleichung:

$u\left(x\right)>v\left(x\right)$

Für x = [0;1] gilt u(x) > v(x)

Für x = 2 gilt u(x) = v(x)

Für x = [3;6] gilt u(x) < v(x)

Für x = [7; +unendlich] gilt u(x) > v(x)

Hoffe ich konnte helfen :)

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

Answer 3

[eddiefox]

Hallo,

für jedes reelle a > 1 wächst die Exponentialfunktion aˣ schneller als jedes Polynom.

Für jedes k ∈ ℕ gilt

$\lim_{\left(x\to\infty\right)}\ \frac{x^k}{a^x}=0$

Beweis: k mal L'Hospital anwenden.

Gruß

Answer 4

[scatha]

Eigentlich ist deine Aussage schon der Beweis. Man kann sie umformulieren.

f(x) sei das Polynom, g(x) die Exponentialfunktion

Es gibt eine Zahl a (hier ist es also 7), bei der gilt:

"Für alle x>=a ist die Steigung der Funktion g an der Stelle x größer als die Steigung der Funktion f an derselben Stelle."

f(x+e) - f(x) < g(x+e) - g(x)

Wenn ihr Differenzialrechnung hattet, dann könnte man sich darauf berufen, indem man die Ableitungen ausrechnet.