Wie beweise ich, dass diese Potenz stärker ansteigt als dieses Polynom?

4 Antworten

Beachte, dass 2^x=e^(x*ln(2)) ist.

Definiere nun f(x):=2^x=ln(e^(2^x)) und g(x):=2x²+x-6 und h(x):=f(x)/g(x)

Dann ist

nach dem Satz von L'Hospital.



Das bringt einen noch nicht weiter. Zähler und Nenner gehen immer noch gegen unendlich, aber wenn man den Satz von L'Hospital nochmal anwendet, erhält man:





Wenn du benutzen darfst, dass lim e^(a*x) für positive a gegen unendlich geht (bzw. dass 2^x gegen unendlich geht), bist du hier fertig.

_____

Da der Quotient gegen unendlich geht, muss der Zähler stärker als der Nenner ansteigen, was zu zeigen war.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Folgendes:



Lege eine Wertetabelle an und bilde eine Ungleichung:



Für x = [0;1] gilt u(x) > v(x)

Für x = 2 gilt u(x) = v(x)

Für x = [3;6] gilt u(x) < v(x)

Für x = [7; +unendlich] gilt u(x) > v(x)

Hoffe ich konnte helfen :)

Woher ich das weiß:eigene Erfahrung

Hallo,

für jedes reelle a > 1 wächst die Exponentialfunktion aˣ schneller als jedes Polynom.

Für jedes k ∈ ℕ gilt



Beweis: k mal L'Hospital anwenden.

Gruß

Eigentlich ist deine Aussage schon der Beweis. Man kann sie umformulieren.

f(x) sei das Polynom, g(x) die Exponentialfunktion

Es gibt eine Zahl a (hier ist es also 7), bei der gilt:

"Für alle x>=a ist die Steigung der Funktion g an der Stelle x größer als die Steigung der Funktion f an derselben Stelle."

f(x+e) - f(x) < g(x+e) - g(x)

Wenn ihr Differenzialrechnung hattet, dann könnte man sich darauf berufen, indem man die Ableitungen ausrechnet.

Was möchtest Du wissen?