Wie bestimme rekonstruire ich eine Funktion aus einer Menge von Funktionswerten?

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6 Antworten

Wenn die Werte aus dem "richtigen" Leben stammen, wird wahrscheinlich keine Funktion 100% passen, weil sich immer Fehler einschleichen (z.B. Messfehler, natürliche Abweichungen).

Wenn du eine Ahnung hast, wie der Zusammenhang sein könnte, kannst du eine entsprechende Funktion anpassen. Das ist aber nur in wenigen Spezialfällen einfach.

Wenn du glaubst, dass es sich um eine Quadr. Funktion handelt könntest du sie z.B. hier eingeben und ausrechnen lassen. Nimm dann 3 Werte, die möglichst weit auseinander liegen.

http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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Hast du denn irgendwelche Vorgaben zu gesuchten Funktion?
- Quadratisch?
- Potenzfunktion?
- Stetig?
- Definitionsbereich / Wertebereich?

Eine "Funktion" wäre es ja auch schon, wenn du einfach nur jedem deiner gegebenen 100 x-Werte den zugehörigen y-Wert zuordnest ;-)

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Die Antwort darauf ist einfach und logisch: gar nicht!

Solange du lediglich eine große Anzahl an Werten, bedeutet das nichteinmal das man diese zu einem Graphen verbinden darf, geschweige denn anhand dieser Werte eine Funktion ermitteln darf in die dann beliebig Werte eingesetzt werden dürfen.

Gerade wenn die Werte auch noch im gleichen Abstand gegeben sind, ist es recht einfach das die schlecht Wende/Hoch oder Tiefpunkte eines wesentlich komplexeren Funktionsverlaufs gegeben sind.
Wenn man nur Tiefpunkte gegeben hat und druch diese einen Graphen legt, wird man natürlich gar nicht bemerken das die Hochpunkte fehlen usw....

Ebenso kann ich dir zB Personalnummern mit einem Umsatzwert geben. Nur weil die beiden Personalnummern 1.4567 und 1.4577 wie Zahlen aussehen, bedeutet das ja nicht das ich zwischen ihnen einen Graphen aufspannen (und damit unendlich viele zusätzliche Personalnummern dazwischen definiere, die es gar nicht gibt).

Ohne zu wissen WAS eine Zuordnungliste stammt ist es unmöglich einen Funktionsverlauf zu ermitteln.
Umgekehrt können sehr wenige Werte ausreichen - wenn zB bekannt ist, das das Ergebniss ein Sinusförmiger Verlauf sein muss.
Dann kann ich sogar Werte außerhalb der Eingangswerte zuverlässig bestimmen.

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Kommentar von Ezares
29.03.2016, 22:58

Jain, natürlich kann man aus einem endlichen Wertebereich nicht auf etwas unendliches schließen. Aber zu diesem Gebiet gibt es sehr viel Theorie. Ein Stichwort dazu wäre "Lineare Regression" man versucht sich eine möglichst gute Approximation zu bauen, indem man sich einen (möglichst geringen, natürlich kann bei n Punkten mit einer Funktion vom Grad n oder höher eine exakte Lösung finden) Grad überlegt.

Wenn du es so siehst, ist der Großteil der Experimentalphysik "Schrott", weil man die Zusammenhänge ja nur "sieht" und nicht beweist.

Die Frage ob das sinnvoll ist, ist eine andere, aber prinzipiell kann man sich ja mit dem Problem einer "Trendkurve" befassen.

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Aussagen treffen also: f(x)=y und dann halt die werte reun, auch mit den ableitungen, is quadratisch also f(x)=ax²+bx+c und f'(x)=2ax+b
da einsetzten und gleichungssystem lösen

EDIT: und wenn du nich weißt ob es quadratisch is dann musst du halt davon ausgehen, sonnst kannst du keine grundfunktion erstellen bei der du dan die parameter rausfindest

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Kommentar von Ezares
29.03.2016, 18:10

Nur hilft das nur weiter, wenn das exakte Werte sind. Wenn es Messwerte sind, will man ja eher eine approximierte Funktion haben und da hilft deins nicht weiter.

Außerdem hast du keine Aussagen über die Ableitungen, da es nur punktweise ist.

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https://www.bricsys.com/static/protected/common/forumAttach/28635/Curve_Fitting.pdf

Hier ist die Variante für eine ältere Excel Version. Vielleicht hilft dir das weiter. Das Stichwort ist "Lineare Regression". Probier einfach etwas rum, vielleicht findest du ja das gesuchte in deiner Version ;)

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Kommentar von Ezares
29.03.2016, 18:26

Da ich gerade gesehen habe, dass du ein Student bist, kann ich dir ja auch den Hintergrund dazu schreiben ;)

Du
willst ja eine Gleichung der Form ax²+bx+c finden, sodass sie in jedem
Punkt möglichst "dicht" an den Punkten liegt. Im Endeffekt ergibt sich
also ein Gleichungssystem. Dafür erstellst du dir eine Matrix (nennen
wir sie A) der Form

x_1^2 x_1 1
x_2^2 x_2 1
...
...
x_n^2 x_n 1

Wobei die x_k die x-Werte von dir sein sollen. Der b-Vektor:

y_1
y_2
...
...
y_n

und x-Vektor als

a
b
c

Nochmal: Wir suchen a, b und c.

Würde die Funktion exakt passen, wäre die Gleichung Ax=b erfüllt.

Da wir das aber nicht wissen, suchen wir eine Lösung x, sodass Ax-b möglichst klein ist.

Dafür gibt es einige Ansätze, einer wäre z.B., dass du das Gleichungssystem "A^t  A x = A^t b" löst, A^t A ist quadratisch, also besser lösbar. Nun kann man das lösen wie man will (z.B. QR-Zerlegung, Householder-Verfahren o.ä.)

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